Cardinal vs Ordinal
בחיי היום-יום שלנו, השימוש במספרים עשוי ללבוש צורות שונות במצבים שונים. לדוגמה, כאשר אנו סופרים כדי להבין את הגודל של אוסף חפצים, אנו סופרים אותם כאחד, שניים, שלושה וכן הלאה. כאשר אנו רוצים לספור משהו כדי לקבל את תחושת המיקום של העצמים, אנו סופרים אותם כראשונים, שניים, שלישיים וכן הלאה. בצורת הספירה הראשונה, אומרים שמספרים הם מספרים קרדינליים. בצורת הספירה השנייה, המספרים נחשבים כמספרים סידוריים. בהקשר זה, המושגים קרדינל ואורדינל הם לחלוטין עניין של בלשנות; קרדינל ואורדינל הם שמות תואר.
עם זאת, הרחבת המושג לקבוצות במתמטיקה חושפת פרספקטיבה עמוקה ורחבה הרבה יותר ואי אפשר להתייחס אליה במונחים פשוטים. במאמר זה ננסה להבין את המושגים הבסיסיים של מספרים קרדינליים וסידוריים במתמטיקה.
הגדרות פורמליות של מספרים קרדינליים ואורדינליים מסופקות בתורת הקבוצות. ההגדרות מורכבות וכדי להבין אותן במובן המושלם צריך ידע רקע בתורת הקבוצות. לכן, נפנה לכמה דוגמאות, כדי להבין את המושגים בצורה היוריסטית.
שקול את שתי הקבוצות {1, 3, 6, 4, 5, 2} ו-{אוטובוס, מכונית, מעבורת, רכבת, מטוס, מסוק}. כל קבוצה מפרטת קבוצה של אלמנטים, ואם נספור את מספר האלמנטים ניכר שלכל קבוצה יש אותו מספר אלמנטים, כלומר 6. הגענו למסקנה זו לקחנו גודל של קבוצה אחת והשווינו לאחרת באמצעות א. מספר. מספר כזה נקרא מספר קרדינל. לכן, אנו יכולים לומר שמספר קרדינל הוא מספר שאנו יכולים להשתמש בו כדי להשוות את גודל הקבוצות הסופיות.
שוב ניתן לסדר את קבוצת המספרים הראשונה בסדר עולה בהתחשב בגודל של כל רכיב והשוואה ביניהם. בתהליך ההזמנה, המספרים נחשבים כקרדינלים. כמו כן, ניתן לסדר את קבוצת כל המספרים השלמים הלא שליליים בקבוצה; כלומר {0, 1, 2, 3, 4, ….}. אבל במקרה זה, גודל הסט הופך לאינסופי, ולא ניתן לתת אותו במונחים של סידורים. לא משנה כמה גדול מספר תבחר כדי לתת את גודל הסט, עדיין יישארו מספרים מחוץ לקבוצה שתבחר ואשר הם מספרים שלמים לא שליליים.
לכן, מתמטיקאים מגדירים את הקרדינל האינסופי הזה (שהוא הראשון) כאלף-0, הכתובה כ-א (אות ראשונה באלפבית העברי). באופן רשמי המספר הסידורי הוא סוג הסדר של קבוצה מסודרת היטב. לכן, המספר הסידורי של הקבוצות הסופיות יכול להינתן על ידי מספרים קרדינליים, אך עבור קבוצות אינסופיות הסידור ניתן על ידי מספרים טרנססופיים כגון Aleph-0.
מה ההבדל בין מספרי קרדינל ומספרים סידוריים?
• המספר הקרדינל הוא מספר שניתן להשתמש בו כדי לספור, או לתת גודל של קבוצה מסודרת סופית. כל המספרים הקרדינליים הם אורדינלים.
• המספרים הסידוריים הם מספרים המשמשים לתת את הגודל של קבוצות מסודרות סופיות ואינסופיות. הגודל של קבוצות הסדר הסופי ניתן על ידי ספרות אלגבריות רגילות של הינדו-ערבית, וגודל הסט האינסופי ניתן על ידי מספרים טרנססופיים.
