מספרים אמיתיים לעומת מספרים דמיוניים
מספרים הם אובייקטים מתמטיים המשמשים לספירה ולמדידה. ההגדרה שלו השתנתה עם השנים עם הוספת אפס, מספרים שליליים, מספרים רציונליים, מספרים אי-רציונליים ומספרים דמיוניים. למרות שהבסיס המופשט של מערכות המספרים מתייחס למבנים אלגבריים כגון קבוצות, טבעות ושדות, מוצג כאן רק רעיון אינטואיטיבי.
מהו מספר אמיתי?
בהגדרה לא רשמית, מספר ממשי הוא מספר שהריבוע שלו אינו שלילי. בסימון מתמטי, נסמן את קבוצת המספרים הממשיים בסמל R.לכן עבור כל x, אם x ϵ R אז x 2 ≥ 0. בצורה קפדנית יותר, ניתן להציג את קבוצת המספרים הממשיים בתור השדה הייחודי והשלם עם הסדר השלם עם הפעולה הבינארית + ו. יחד עם יחס הסדר <. יחס סדר זה עוקב אחר חוק הטריכוטומיה, הקובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים x ו-y, מתקיים אחד ויחיד מ-3 אלה; x > y, x < y או x=y.
מספר ממשי יכול להיות אלגברי או טרנסצנדנטלי, תלוי אם הוא שורש של משוואה פולינומית עם מקדמים שלמים או לא. כמו כן, מספר ממשי יכול להיות רציונלי או אי-רציונלי, תלוי אם ניתן לבטא אותו כיחס של שני מספרים שלמים או לא. לדוגמה, 2.5 הוא מספר ממשי, שהוא אלגברי ורציונלי, אבל ᴫ הוא אי-רציונלי וגם טרנסצנדנטלי.
קבוצת המספרים האמיתיים הושלמה. זה אומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים שמתוחמת למעלה, יש גבול עליון לפחות, ומכאן, ניתן להסיק שלכל תת-קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים שמתוחמת למטה, יש את הגבול התחתון הגדול ביותר.זה מבדיל את קבוצת המספרים הממשיים מקבוצת המספרים הרציונליים. אפשר לטעון שקבוצת המספרים הממשיים נבנית על ידי מילוי הפערים של קבוצת המספרים הרציונליים הלא שלמים, כאשר הפערים הם מספרים אי-רציונליים.
מהו מספר דמיוני?
מספר דמיוני הוא מספר שהריבוע שלו שלילי. במילים אחרות, מספרים כמו √(-1), √(-100) ו√(- e) הם מספרים דמיוניים. ניתן לכתוב את כל המספרים הדמיוניים בצורה a i כאשר i היא 'היחידה הדמיונית' √(-1) ו-a הוא מספר ממשי שאינו אפס. (שים לב ש-i2=-1). למרות שמספרים אלו אינם אמיתיים וכפי שהשם מרמז אינם קיימים, הם משמשים ביישומים חיוניים רבים בעולם האמיתי, בתחומים כמו תעופה, אלקטרוניקה והנדסה.
מה ההבדל בין מספרים ממשיים למספרים דמיוניים?• הריבוע של מספר ממשי אינו שלילי, אבל הריבוע של מספר דמיוני הוא שלילי. • קבוצה של מספרים אמיתיים יוצר שדה שלם מסודר לחלוטין בעוד שקבוצת המספרים הדמיוניים אינה שלמה ואינה מסודרת. |
