רימן אינטגרל נגד לבגס אינטגרל
אינטגרציה היא נושא מרכזי בחשבון. במובן רחב יותר, ניתן לראות באינטגרציה תהליך הפוך של בידול. כאשר מדגמים בעיות בעולם האמיתי, קל לכתוב ביטויים הכוללים נגזרות. במצב כזה, פעולת האינטגרציה נדרשת כדי למצוא את הפונקציה, שנתנה את הנגזרת המסוימת.
מזווית אחרת, אינטגרציה היא תהליך, המסכם את המכפלה של פונקציה ƒ(x) ו-δx, כאשר δx נוטה להיות גבול מסוים. זו הסיבה שאנו משתמשים בסמל האינטגרציה בתור ∫. הסמל ∫ הוא למעשה מה שאנו משיגים על ידי מתיחת האות s כדי להתייחס לסכום.
רימן אינטגרל
שקול פונקציה y=ƒ(x). האינטגרל של y בין a ל-b, כאשר a ו-b שייכים לקבוצה x, נכתב כ- b ∫ a ƒ(x) dx=[F (x)] a → b =F (b) – F (a). זה נקרא אינטגרל מוגדר של הפונקציה המוערכת והרציפה y=ƒ(x) בין a ל-b. זה נותן את השטח מתחת לעקומה בין a ל-b. זה נקרא גם אינטגרל רימן. אינטגרל רימן נוצר על ידי ברנהרד רימן. אינטגרל רימן של פונקציה רציפה מבוסס על מדד ירדן, לכן, הוא מוגדר גם כגבול של סכומי רימן של הפונקציה. עבור פונקציה בעלת ערך אמיתי המוגדר במרווח סגור, אינטגרל רימן של הפונקציה ביחס למחיצה x1, x2, …, x n מוגדר במרווח [a, b] ו-t1, t2, …, t n, כאשר xi ≤ ti ≤ xi+1 עבור כל i ε {1, 2, …, n}, סכום רימן מוגדר כ-Σi=o ל-n-1 ƒ(ti)(xi+1 – xi).
Lebesgue Integral
Lebesgue הוא סוג אחר של אינטגרל, שמכסה מגוון רחב של מקרים מאשר אינטגרל רימן. אינטגרל לבגס הוצג על ידי אנרי לבגס בשנת 1902. ניתן לראות באינטגרציה של Legesgue כהכללה של אינטגרציית רימן.
למה אנחנו צריכים ללמוד אינטגרל נוסף?
הבה נבחן את הפונקציה האופיינית ƒA (x)={0 if, x לא ε A1 if, x ε Aעל קבוצה A. אז שילוב ליניארי סופי של פונקציות אופייניות, המוגדר כ-F (x)=Σ ai ƒ E i(x) נקראת הפונקציה הפשוטה אם E i ניתן למדידה עבור כל i. האינטגרל של Lebesgue של F (x) על E מסומן ב-E∫ ƒ(x)dx. הפונקציה F (x) אינה ניתנת לשילוב של רימן. לכן אינטגרל לבגס הוא ניסוח מחדש של אינטגרל רימן, שיש לו כמה הגבלות על הפונקציות שיש לשלב.
מה ההבדל בין רימן אינטגרל לאינטגרל לבגס?
· אינטגרל לבגס הוא צורת הכללה של אינטגרל רימן.
· האינטגרל של לבגס מאפשר אינסוף של אי-רציפות שניתן לספור, ואילו אינטגרל רימן מאפשר מספר סופי של אי-רציפות.
