נגזרת לעומת אינטגרל
בידול ואינטגרציה הן שתי פעולות בסיסיות בחשבון. יש להם יישומים רבים בכמה תחומים, כגון מתמטיקה, הנדסה ופיזיקה. הן הנגזרת והן האינטגרלית דנים בהתנהגות של פונקציה או התנהגות של ישות פיזית שבה אנו מתעניינים.
מה זה נגזרת?
נניח ש-y=ƒ(x) ו-x0 נמצאים בתחום של ƒ. ואז limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx נקרא קצב השינוי המיידי של ƒ ב-x0, בתנאי שהגבול הזה קיים באופן סופי.מגבלה זו נקראת גם הנגזרת של at והיא מסומנת ב-ƒ(x).
ערך הנגזרת של פונקציה f בנקודה שרירותית x בתחום הפונקציה ניתן על ידי limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. זה מסומן על ידי כל אחד מהביטויים הבאים: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
עבור פונקציות עם מספר משתנים, אנו מגדירים נגזרת חלקית. הנגזרת החלקית של פונקציה בעלת מספר משתנים היא הנגזרת שלה ביחס לאחד מאותם משתנים, בהנחה שהמשתנים האחרים הם קבועים. הסמל של הנגזרת החלקית הוא ∂.
באופן גיאומטרי ניתן לפרש את הנגזרת של פונקציה כשיפוע העקומה של הפונקציה ƒ(x).
מהו אינטגרל?
אינטגרציה או אנטי-דיפרנציאציה היא תהליך הפוך של בידול. במילים אחרות, זהו תהליך מציאת פונקציה מקורית כאשר ניתנת הנגזרת של הפונקציה.לכן, ניתן להגדיר אינטגרל או נגזרת אנטי של פונקציה ƒ(x) if, ƒ(x)=F (x) כפונקציה F (x), עבור כל ה-x בתחום של ƒ(x).
הביטוי ∫ƒ(x) dx מציין את הנגזרת של הפונקציה ƒ(x). אם ƒ(x)=F (x), אז ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, כאשר C הוא קבוע, ∫ƒ(x) dx נקרא האינטגרל הבלתי מוגדר של ƒ(x).
עבור כל פונקציה ƒ, שאינה בהכרח לא שלילית, ומוגדרת במרווח [a, b], a∫b ƒ(x) dx נקרא האינטגרל המוגדר ƒ על [a, b].
את האינטגרל המוגדר a∫bƒ(x) dx של פונקציה ƒ(x) ניתן לפרש בצורה גיאומטרית כשטח של אזור תחום על ידי העקומה ƒ(x), ציר ה-x והקווים x=a ו-x=b.
מה ההבדל בין נגזרת לאינטגרל?
• הנגזרת היא תוצאה של בידול התהליך, ואילו אינטגרל הוא תוצאה של שילוב התהליך.
• נגזרת של פונקציה מייצגת את שיפוע העקומה בכל נקודה נתונה, בעוד האינטגרל מייצג את השטח מתחת לעקומה.
