נגזרת לעומת דיפרנציאל
בחשבון דיפרנציאלי, נגזרת ודיפרנציאל של פונקציה קשורים קשר הדוק אבל יש להם משמעויות שונות מאוד, והם משמשים לייצוג שני אובייקטים מתמטיים חשובים הקשורים לפונקציות הניתנות להבדלה.
מה זה נגזרת?
נגזרת של פונקציה מודדת את הקצב שבו ערך הפונקציה משתנה ככל שהקלט שלה משתנה. בפונקציות מרובות משתנים, השינוי בערך הפונקציה תלוי בכיוון השינוי של ערכי המשתנים הבלתי תלויים. לכן, במקרים כאלה, נבחר כיוון ספציפי והפונקציה מובחנת בכיוון המסוים הזה.הנגזרת הזו נקראת הנגזרת הכיוונית. נגזרות חלקיות הן סוג מיוחד של נגזרות כיווניות.
ניתן להגדיר נגזרת של פונקציה בעלת ערך וקטורי כגבול [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] בכל מקום בו הוא קיים באופן סופי. כאמור, זה נותן לנו את קצב הגידול של הפונקציה f בכיוון הווקטור u. במקרה של פונקציה בעלת ערך יחיד, זה מצטמצם להגדרה הידועה של הנגזרת, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
לדוגמה, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ניתן להבדיל בכל מקום, והנגזרת שווה לגבול, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], שהוא שווה ל-[latex]3x^{2}+4[/latex]. הנגזרות של פונקציות כגון [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] קיימות בכל מקום. הם שווים בהתאמה לפונקציות [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
זה ידוע בתור הנגזרת הראשונה. בדרך כלל הנגזרת הראשונה של הפונקציה f מסומנת ב-f (1) כעת באמצעות סימון זה, ניתן להגדיר נגזרות מסדר גבוה יותר. [לטקס]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] היא נגזרת הכיוון השני, ומציינת את n th נגזרת ב-f (n) עבור כל n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], מגדיר את n th הנגזרת.
מהו דיפרנציאל?
הפרש של פונקציה מייצג את השינוי בפונקציה ביחס לשינויים במשתנה או המשתנים הבלתי תלויים. בסימון הרגיל, עבור פונקציה נתונה f של משתנה יחיד x, ההפרש הכולל בסדר 1 df ניתן על ידי, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. משמעות הדבר היא שעבור שינוי אינפיניטסימלי ב-x (כלומר d x), יהיה שינוי f (1)(x)d x ב-f.
באמצעות מגבלות אפשר להגיע להגדרה הזו כדלקמן. נניח ש- ∆ x הוא השינוי ב- x בנקודה שרירותית x ו- ∆ f הוא השינוי המתאים בפונקציה f. ניתן להראות כי ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, כאשר ϵ היא השגיאה. כעת, הגבול ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (באמצעות ההגדרה שצוינה קודם לנגזרת) וכך, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. לכן, אפשר מסיקים כי, ∆ x→ 0 ϵ=0. כעת, בציון ∆ x→ 0 ∆ f כ-d f ו-∆ x→ 0 ∆ x כ-d x, ההגדרה של ההפרש מתקבלת בקפדנות.
לדוגמה, ההפרש של הפונקציה [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] הוא [latex](3x^{2}+4)dx[/לטקס].
במקרה של פונקציות של שני משתנים או יותר, ההפרש הכולל של פונקציה מוגדר כסכום ההפרשים בכיוונים של כל אחד מהמשתנים הבלתי תלויים. מבחינה מתמטית, ניתן לציין אותו כ-[latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
מה ההבדל בין נגזר לדפרנציאלי?
• נגזרת מתייחסת לקצב השינוי של פונקציה בעוד שההפרש מתייחס לשינוי בפועל של הפונקציה, כאשר המשתנה הבלתי תלוי נתון לשינוי.
• הנגזרת ניתנת על ידי [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], אבל ההפרש ניתן על ידי [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
