משוואת הבדל לעומת משוואה דיפרנציאלית
תופעת טבע יכולה להיות מתוארת מתמטית על ידי פונקציות של מספר משתנים ופרמטרים בלתי תלויים. במיוחד כשהם באים לידי ביטוי בפונקציה של מיקום וזמן מרחבי זה מביא למשוואות. הפונקציה עשויה להשתנות עם השינוי במשתנים הבלתי תלויים או בפרמטרים. שינוי אינפיניטסימלי המתרחש בפונקציה כאשר אחד המשתנים שלה משתנה נקרא הנגזרת של אותה פונקציה.
משוואה דיפרנציאלית היא כל משוואה שמכילה נגזרות של פונקציה וכן את הפונקציה עצמה.משוואה דיפרנציאלית פשוטה היא זו של חוק התנועה השני של ניוטון. אם חפץ בעל מסה m נע בתאוצה 'a' ומופעל עליו בכוח F אז החוק השני של ניוטון אומר לנו ש-F=ma. כאן שוב, 'a' משתנה עם הזמן, אנו יכולים לשכתב את 'a' בתור; a=dv/dt; v היא מהירות. מהירות היא פונקציה של מרחב וזמן, כלומר v=ds/dt; לכן ‘a’=d2s/dt2
לזכור את אלה נוכל לשכתב את החוק השני של ניוטון כמשוואה דיפרנציאלית;
'F' כפונקציה של v ו-t – F(v, t)=mdv/dt, or
'F' כפונקציה של s ו-t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
ישנם שני סוגים של משוואות דיפרנציאליות; משוואת דיפרנציאלית רגילה, מקוצרת ב-ODE או משוואה דיפרנציאלית חלקית, בקיצור ב-PDE. במשוואה דיפרנציאלית רגילה יהיו נגזרות רגילות (נגזרות של משתנה אחד בלבד). במשוואה דיפרנציאלית חלקית יהיו נגזרות דיפרנציאליות (נגזרות של יותר ממשתנה אחד).
לדוגמה F=m d2s/dt2 הוא ODE, ואילו α2 d 2u/dx2=du/dt הוא PDE, יש לו נגזרות של t ו-x.
משוואת הבדל זהה למשוואה דיפרנציאלית אבל אנחנו מסתכלים עליה בהקשר שונה. במשוואות דיפרנציאליות, המשתנה הבלתי תלוי כגון זמן נחשב בהקשר של מערכת זמן רציפה. במערכת זמן בדידה, אנו קוראים לפונקציה כמשוואת הפרש.
משוואת הבדלים היא פונקציה של הבדלים. ההבדלים במשתנים הבלתי תלויים הם שלושה סוגים; רצף של מספרים, מערכת דינמית בדידה ופונקציה חוזרת.
ברצף של מספרים השינוי נוצר באופן רקורסיבי באמצעות כלל לקשור כל מספר ברצף למספרים הקודמים ברצף.
משוואת הבדלים במערכת דינמית בדיד לוקחת אות קלט בדיד כלשהו ומפיקה אות פלט.
משוואת ההבדלים היא מפה חוזרת לפונקציה חוזרת.לדוגמה, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….הוא הרצף של פונקציה חוזרת. ה-f(y0) הוא האיטרציה הראשונה של y0 האיטרציה ה-k תסומן ב-fk (y0).
