משוואה לינארית לעומת משוואה לא ליניארית
במתמטיקה, משוואות אלגבריות הן משוואות, שנוצרות באמצעות פולינומים. כאשר המשוואות נכתבות במפורש, המשוואות יהיו בצורת P(x)=0, כאשר x הוא וקטור של n משתנים לא ידועים ו-P הוא פולינום. לדוגמה, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 היא משוואה אלגברית בשני משתנים שנכתבו במפורש. כמו כן, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 היא משוואה אלגברית, אבל בצורה מרומזת והוא יקבל את הצורה Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, פעם אחת נכתב במפורש.
מאפיין חשוב של משוואה אלגברית הוא התואר שלה. זה מוגדר ככוח הגבוה ביותר של המונחים המתרחשים במשוואה. אם איבר מורכב משני משתנים או יותר, סכום המעריכים של כל משתנה ייחשב כחזקה של האיבר. שים לב שלפי הגדרה זו P(x, y)=0 הוא של מעלה 5, בעוד ש-Q(x, y, z)=0 הוא בעל מדרגה 5.
משוואות ליניאריות ומשוואות לא ליניאריות הן שתי מחיצות המוגדרות על קבוצת המשוואות האלגבריות. דרגת המשוואה היא הגורם המבדיל אותם זה מזה.
מהי משוואה לינארית?
משוואה לינארית היא משוואה אלגברית של מדרגה 1. לדוגמה, 4x + 5=0 היא משוואה לינארית של משתנה אחד. x + y + 5z=0 ו-4x=3w + 5y + 7z הן משוואות לינאריות של 3 ו-4 משתנים בהתאמה. באופן כללי, משוואה לינארית של n משתנים תקבל את הצורה m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =ב.כאן, xi's הם המשתנים הלא ידועים, mi's ו-b הם מספרים ממשיים כאשר כל אחד מ-mi אינו אפס.
משוואה כזו מייצגת מישור היפר במרחב האוקלידי ה-n-ממדי. בפרט, משוואה ליניארית של שני משתנים מייצגת קו ישר במישור הקרטזי ומשוואה ליניארית עם שלושה משתנים מייצגת מישור במרחב אוקלידי.
מהי משוואה לא ליניארית?
משוואה ריבועית היא משוואה אלגברית, שאינה לינארית. במילים אחרות, משוואה לא ליניארית היא משוואה אלגברית בדרגה 2 ומעלה. x2 + 3x + 2=0 היא משוואה לא ליניארית של משתנה יחיד. x2 + y3+ 3xy=4 ו-8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 הן דוגמאות למשוואות לא ליניאריות של 3 ו-4 משתנים בהתאמה.
משוואה לא לינארית מדרגה שנייה נקראת משוואה ריבועית. אם המעלה היא 3, אז זה נקרא משוואת מעוקב.משוואות תואר 4 ותואר 5 נקראות משוואות קוורטיות וקוונטיות בהתאמה. הוכח שלא קיימת שיטה אנליטית לפתור משוואה לא ליניארית כלשהי של דרגה 5, וזה נכון גם לכל דרגה גבוהה יותר. משוואות לא ליניאריות הניתנות לפתרון מייצגות משטחי היפר שאינם מישורי היפר.
מה ההבדל בין משוואה לינארית למשוואה לא ליניארית?
• משוואה ליניארית היא משוואה אלגברית של מדרגה 1, אבל משוואה לא ליניארית היא משוואה אלגברית ממעלה 2 ומעלה.
• למרות שכל משוואה לינארית ניתנת לפתרון אנליטית, זה לא המקרה במשוואות לא ליניאריות.
• במרחב האוקלידי ה-n-ממדי, מרחב הפתרון של משוואה ליניארית של n-משתנים הוא מישור היפר, בעוד זה של משוואה לא-לינארית עם n-משתנה הוא משטח היפר, שאינו מישור היפר. (קוואדרי, משטחים מעוקבים וכו')
