הבדל בין משוואה לינארית למשוואה ריבועית

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 13:39

משוואה לינארית לעומת משוואה ריבועית

במתמטיקה, משוואות אלגבריות הן משוואות שנוצרות באמצעות פולינומים. כאשר המשוואות נכתבות במפורש, המשוואות יהיו בצורת P(x)=0, כאשר x הוא וקטור של n משתנים לא ידועים ו-P הוא פולינום. לדוגמה, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 היא משוואה אלגברית של שני משתנים שנכתבו במפורש. כמו כן, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ היא משוואה אלגברית, אבל בצורה מרומזת. זה יקבל את הצורה Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, פעם אחת נכתב במפורש.}

מאפיין חשוב של משוואה אלגברית הוא התואר שלה. זה מוגדר ככוח הגבוה ביותר של המונחים המתרחשים במשוואה. אם איבר מורכב משני משתנים או יותר, סכום המעריכים של כל משתנה ייחשב כחזקה של האיבר. שים לב שלפי הגדרה זו P(x, y)=0 הוא בעל תואר 4 בעוד ש-Q(x, y, z)=0 הוא בעל מדרגה 5.

משוואות לינאריות ומשוואות ריבועיות הן שני סוגים שונים של משוואות אלגבריות. דרגת המשוואה היא הגורם המבדיל אותם משאר המשוואות האלגבריות.

מהי משוואה לינארית?

משוואה לינארית היא משוואה אלגברית של מדרגה 1. לדוגמה, 4x + 5=0 היא משוואה לינארית של משתנה אחד. x + y + 5z=0 ו-4x=3w + 5y + 7z הן משוואות לינאריות של 3 ו-4 משתנים בהתאמה. באופן כללי, משוואה לינארית של n משתנים תקבל את הצורה m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =ב.כאן, x_i's הם המשתנים הלא ידועים, m_i's ו-b הם מספרים ממשיים כאשר כל אחד מ-m_i אינו אפס.

משוואה כזו מייצגת מישור היפר במרחב האוקלידי ה-n-ממדי. בפרט, משוואה ליניארית של שני משתנים מייצגת קו ישר במישור הקרטזי ומשוואה ליניארית עם שלושה משתנים מייצגת מישור במרחב אוקלידי.

מהי משוואה ריבועית?

משוואה ריבועית היא משוואה אלגברית מהמעלה השנייה. x² + 3x + 2=0 היא משוואה ריבועית משתנה יחיד. x² + y² + 3x=4 ו-4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 הן דוגמאות למשוואות ריבועיות של 2 ו-3 משתנים בהתאמה.}

במקרה של משתנה יחיד, הצורה הכללית של משוואה ריבועית היא ax² + bx + c=0. כאשר a, b, c הם מספרים ממשיים שמתוכם 'a' אינו אפס. המבחין ∆=(b^{2 – 4ac) קובע את אופי השורשים של המשוואה הריבועית.שורשי המשוואה יהיו ממש מובחנים, ממש דומים ומורכבים לפי ∆ חיובי, אפס ושלילי. ניתן למצוא בקלות את שורשי המשוואה באמצעות הנוסחה x=(- b ± √∆) / 2a.}

במקרה של שני משתנים, הצורה הכללית תהיה ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, וזה מייצג חרוט (פרבולה, היפרבולה או אליפסה) במישור הקרטזיאני. בממדים גבוהים יותר, סוג זה של משוואות מייצג משטחי היפר הידועים כריבועיים.}

מה ההבדל בין משוואות לינאריות למשוואות ריבועיות?

• משוואה ליניארית היא משוואה אלגברית של מדרגה 1, בעוד שמשוואה ריבועית היא משוואה אלגברית במעלה 2.

• במרחב האוקלידי ה-n-ממדי, מרחב הפתרון של משוואה ליניארית של n-משתנים הוא מישור היפר בעוד זה של משוואה ריבועית n-משתנים הוא משטח ריבועי.