קואורדינטות קרטזיות לעומת קואורדינטות קוטביות
בגיאומטריה, מערכת קואורדינטות היא מערכת ייחוס, שבה משתמשים במספרים (או קואורדינטות) כדי לקבוע באופן ייחודי את המיקום של נקודה או אלמנט גיאומטרי אחר במרחב. מערכות הקואורדינטות מאפשרות להמיר את הבעיות הגיאומטריות לבעיה מספרית, המספקת את הבסיס לגיאומטריה אנליטית.
מערכת הקואורדינטות הקרטזית ומערכות הקואורדינטות הקוטביות הן שתיים ממערכות הקואורדינטות הנפוצות בשימוש במתמטיקה.
קואורדינטות קרטזיות
מערכת הקואורדינטות הקרטזית משתמשת בקו המספרים האמיתי בתור ההפניה.במימד אחד, קו המספרים משתרע מאינסוף שלילי לאינסוף חיובי. בהתחשב בנקודה 0 כהתחלה, ניתן למדוד את האורך לכל נקודה. זה מספק דרך ייחודית לזהות מיקום על הקו, עם מספר בודד.
ניתן להרחיב את המושג לשני מימדים ותלת מימדים שבהם משתמשים בקווי מספר מאונכים זה לזה. כולם חולקים את אותה נקודה 0 כמו ההתחלה. קווי המספרים נקראים צירים, ולעתים קרובות נקראים ציר X, ציר Y וציר Z. המרחק לנקודה לאורך כל ציר החל מ- (0, 0, 0), הידוע גם כמקור, וניתן כ-tuple ידוע כקואורדינטה של הנקודה. נקודה כללית במרחב זה יכולה להיות מיוצגת על ידי הקואורדינטה (x, y, z). במערכת מישורית שבה יש רק שני צירים, הקואורדינטות ניתנות כ- (x, y). מישור שנוצר על ידי הצירים ידוע כמישור קרטזי, ולעתים קרובות מתייחסים אליו באותיות הצירים. לְמָשָׁל. מטוס XY.
ניתן להשתמש בנקודה כללית זו כדי לתאר אלמנטים גיאומטריים שונים על ידי הגבלת הנקודה הכללית להתנהג בדרכים ספציפיות. לדוגמה, משוואה x^2+y^2=a^2 מייצגת מעגל. במקום לצייר עיגול עם רדיוס a אפשר לסמן את המעגל בצורה מופשטת יותר שמוצגת למעלה.
קואורדינטות קוטביות
קואורדינטות קוטביות משתמשות במערכת התייחסות להפרש כדי לציין נקודה. מערכת הקואורדינטות הקוטבית משתמשת בזווית נגד כיוון השעון מהכיוון החיובי של ציר x ובמרחק הקו הישר לנקודה בתור הקואורדינטות.
ניתן לייצג את הקואורדינטות הקוטביות כמו לעיל במערכת הקואורדינטות הקרטזיות הדו-ממדיות.
הטרנספורמציה בין מערכות קוטביות וקרטזיות ניתנת על ידי היחסים הבאים:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=tan-1 (x/y)
מה ההבדל בין קואורדינטות קרטזיות וקוטביות?
• קואורדינטות קרטזיות משתמשות בקווי מספר כצירים, וניתן להשתמש בהן במימד אחד, דו או תלת. לכן יש לו את היכולת לייצג גיאומטריות ליניאריות, מישוריות ומוצקות.
• קואורדינטות קוטביות משתמשות בזווית ובאורך כקואורדינטות, והן יכולות לייצג גיאומטריות ליניאריות ומישוריות בלבד, אם כי ניתן לפתח אותן למערכת קואורדינטות גלילית, כדי לייצג גיאומטריות מוצקות.
• שתי המערכות משמשות לייצוג מספרים דמיוניים על ידי הגדרת הציר הדמיוני, וממלאות תפקיד חיוני באלגברה מורכבת. למרות שבצורה הפשוטה, קואורדינטות קרטזיות הן מספרים ממשיים (x, y, z), הקואורדינטות במערכת הקוטב אינן תמיד מספרים ממשיים; כלומר אם הזווית נתונה במעלות, הקואורדינטות אינן אמיתיות; אם הזווית נתונה ברדיאנים קואורדינטות הן מספרים ממשיים.
