מלבן נגד מעוין
מעוין ומלבן הם מרובעים. הגיאומטריה של דמויות אלו הייתה ידועה לאדם במשך אלפי שנים. הנושא מטופל במפורש בספר "אלמנטים" שנכתב על ידי המתמטיקאי היווני אוקלידס.
Parallelogram
ניתן להגדיר את הפרללוגרמה כדמות הגיאומטרית בעלת ארבע צלעות, כאשר צלעות נגדיות מקבילות זו לזו. ליתר דיוק זהו מרובע עם שני זוגות של צלעות מקבילות. טבע מקביל זה נותן מאפיינים גיאומטריים רבים למקביליות.
מרובע הוא מקבילית אם נמצאו מאפיינים גיאומטריים הבאים.
• שני זוגות של צלעות מנוגדות שווים באורכם. (AB=DC, AD=BC)
• שני זוגות של זוויות מנוגדות שווים בגודלם. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• אם הזוויות הסמוכות הן משלימות [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• זוג צלעות, המנוגדות זו לזו, מקבילים ושווים באורכם. (AB=DC & AB∥DC)
• האלכסונים חוצים זה את זה (AO=OC, BO=OD)
• כל אלכסון מחלק את המרובע לשני משולשים חופפים. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
יותר מכך, סכום ריבועי הצלעות שווה לסכום ריבועי האלכסונים. זה מכונה לפעמים חוק המקבילה ויש לו יישומים נרחבים בפיזיקה ובהנדסה. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
כל אחד מהמאפיינים שלעיל יכול לשמש כמאפיינים, ברגע שיקבע שהמרובע הוא מקבילית.
ניתן לחשב את שטח המקבילית לפי מכפלה של אורך צד אחד והגובה לצד הנגדי. לכן, ניתן לציין את שטח המקבילית כ
אזור מקבילית=בסיס × גובה=AB×h
שטח המקבילית אינו תלוי בצורת המקבילה הבודדת. זה תלוי רק באורך הבסיס ובגובה הניצב.
אם ניתן לייצג את הצלעות של מקבילית על ידי שני וקטורים, ניתן לקבל את השטח על ידי גודל המכפלה הווקטורית (מכפלה צולבת) של שני הוקטורים הסמוכים.
אם הצלעות AB ו-AD מיוצגות על ידי הוקטורים ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) ו-([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) בהתאמה, השטח של מקבילית ניתנת על ידי [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], כאשר α היא הזווית בין [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] ו-[latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
להלן כמה מאפיינים מתקדמים של המקבילית;
• השטח של מקבילית הוא פי שניים משטחו של משולש שנוצר על ידי כל אחד מהאלכסונים שלו.
• שטח המקבילית מחולק לשניים על ידי כל קו העובר דרך נקודת האמצע.
• כל טרנספורמציה זיקה לא מנוונת לוקחת מקבילית למקבילית אחרת
• למקבילית יש סימטריה סיבובית בסדר 2
• סכום המרחקים מכל נקודה פנימית של מקבילית לצדדים אינו תלוי במיקום הנקודה
מלבן
מרובע עם ארבע זוויות ישרות ידוע בתור מלבן. זהו מקרה מיוחד של המקבילית שבה הזוויות בין כל שתי צלעות סמוכות הן זוויות ישרות.
בנוסף לכל המאפיינים של מקבילית, ניתן לזהות מאפיינים נוספים כאשר בוחנים את הגיאומטריה של המלבן.
• כל זווית בקודקודים היא זווית ישרה.
• האלכסונים שווים באורכם, והם חוצים זה את זה. לכן, גם הקטעים החצויים שווים באורכם.
• ניתן לחשב את אורך האלכסונים באמצעות משפט פיתגורס:
PQ2 + PS2 =SQ2
• נוסחת השטח מצטמצמת למכפלת האורך והרוחב.
אזור של מלבן=אורך × רוחב
• מאפיינים סימטריים רבים נמצאים על מלבן, כגון;
– מלבן הוא מחזורי, שבו ניתן למקם את כל הקודקודים על היקף המעגל.
– זה שווה-זווית, כאשר כל הזוויות שוות.
– הוא איזוגונלי, כאשר כל הפינות נמצאות בתוך אותו מסלול סימטריה.
– יש לו גם סימטריה רפלקטיבית וגם סימטריה סיבובית.
Rhombus
מרובע שכל צלעותיו שוות באורך מכונה מעוין. זה נקרא גם כמרובע שווה צלעות. הוא נחשב לבעל צורת יהלום, דומה לזו שבקלפי המשחק.
מעוין הוא גם מקרה מיוחד של המקבילית. זה יכול להיחשב מקבילית עם כל ארבע הצלעות שוות. ויש לו תכונות מיוחדות הבאות, בנוסף למאפיינים של מקבילית.
• האלכסונים של המעוין חוצים זה את זה בזוויות ישרות; האלכסונים מאונכים.
• האלכסונים חוצים את שתי הזוויות הפנימיות ההפוכות.
• לפחות שתיים מהצלעות הסמוכות שוות באורכן.
ניתן לחשב את שטח המעוין באותה שיטה כמו המקבילית.
מה ההבדל בין מעוין למלבן?
• מעוין ומלבן הם מרובעים. מלבן ומעוין הם מקרים מיוחדים של המקביליות.
• ניתן לחשב שטח של כל אחד באמצעות הנוסחה בסיס ×גובה.
• בהתחשב באלכסונים;
– האלכסונים של המעוין חוצים זה את זה בזוויות ישרות, והמשולשים הנוצרים הם שווי צלעות.
– אלכסוני המלבן שווים באורכם וחוצים זה את זה; חלקים חצויים שווים באורכם. האלכסונים חוצים את המלבן לשני משולשים ישרים חופפים.
• בהתחשב בזוויות הפנימיות;
– הזוויות הפנימיות של המעוין חצויות באלכסונים
– כל ארבע הזוויות הפנימיות של המלבן הן זוויות ישרות.
• בהתחשב בצדדים;
– מכיוון שכל ארבע הצלעות שוות במעוין, ארבע פעמים הריבוע של הצלע שווה לסכום ריבועי האלכסון (באמצעות חוק המקביל)
– במלבנים, סכום הריבועים של שתי הצלעות הסמוכות שווה לריבוע האלכסון בקצוות. (חוק פיתגורס)
