Parallelogram vs Rombus
מקבילה ומעוין הם מרובעים. הגיאומטריה של דמויות אלו הייתה ידועה לאדם במשך אלפי שנים. הנושא מטופל במפורש בספר "אלמנטים" שנכתב על ידי המתמטיקאי היווני אוקלידס.
Parallelogram
ניתן להגדיר את הפרללוגרמה כדמות הגיאומטרית בעלת ארבע צלעות, כאשר צלעות נגדיות מקבילות זו לזו. ליתר דיוק זהו מרובע עם שני זוגות של צלעות מקבילות. טבע מקביל זה נותן מאפיינים גיאומטריים רבים למקביליות.
מרובע הוא מקבילית אם נמצאו מאפיינים גיאומטריים הבאים.
• שני זוגות של צלעות מנוגדות שווים באורכם. (AB=DC, AD=BC)
• שני זוגות של זוויות מנוגדות שווים בגודלם. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• אם הזוויות הסמוכות הן משלימות [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• זוג צלעות, המנוגדות זו לזו, מקבילים ושווים באורכם. (AB=DC & AB∥DC)
• האלכסונים חוצים זה את זה (AO=OC, BO=OD)
• כל אלכסון מחלק את המרובע לשני משולשים חופפים. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
יותר מכך, סכום ריבועי הצלעות שווה לסכום ריבועי האלכסונים. זה מכונה לפעמים חוק המקבילה ויש לו יישומים נרחבים בפיזיקה ובהנדסה. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
כל אחד מהמאפיינים שלעיל יכול לשמש כמאפיינים, ברגע שיקבע שהמרובע הוא מקבילית.
ניתן לחשב את שטח המקבילית לפי מכפלה של אורך צד אחד והגובה לצד הנגדי. לכן, ניתן לציין את שטח המקבילית כ
אזור מקבילית=בסיס × גובה=AB×h
שטח המקבילית אינו תלוי בצורת המקבילה הבודדת. זה תלוי רק באורך הבסיס ובגובה הניצב.
אם ניתן לייצג את הצלעות של מקבילית על ידי שני וקטורים, ניתן לקבל את השטח על ידי גודל המכפלה הווקטורית (מכפלה צולבת) של שני הוקטורים הסמוכים.
אם הצלעות AB ו-AD מיוצגות על ידי הוקטורים ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) ו-([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) בהתאמה, השטח של מקבילית ניתנת על ידי [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], כאשר α היא הזווית בין [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] ו-[latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
להלן כמה מאפיינים מתקדמים של המקבילית;
• השטח של מקבילית הוא פי שניים משטחו של משולש שנוצר על ידי כל אחד מהאלכסונים שלו.
• שטח המקבילית מחולק לשניים על ידי כל קו העובר דרך נקודת האמצע.
• כל טרנספורמציה זיקה לא מנוונת לוקחת מקבילית למקבילית אחרת
• למקבילית יש סימטריה סיבובית בסדר 2
• סכום המרחקים מכל נקודה פנימית של מקבילית לצדדים אינו תלוי במיקום הנקודה
Rhombus
מרובע שכל צלעותיו שוות באורך מכונה מעוין. זה נקרא גם כמרובע שווה צלעות. הוא נחשב לבעל צורת יהלום, דומה לזו שבקלפי המשחק.
מעוין הוא גם מקרה מיוחד של המקבילית. זה יכול להיחשב מקבילית עם כל ארבע הצלעות שוות. ויש לו תכונות מיוחדות הבאות, בנוסף למאפיינים של מקבילית.
• האלכסונים של המעוין חוצים זה את זה בזוויות ישרות; האלכסונים מאונכים.
• האלכסונים חוצים את שתי הזוויות הפנימיות ההפוכות.
• לפחות שתיים מהצלעות הסמוכות שוות באורכן.
ניתן לחשב את שטח המעוין באותה שיטה כמו המקבילית.
מה ההבדל בין Parallelogram למעוין?
• מקבילית ומעוין הם מרובעים. מעוין הוא מקרה מיוחד של המקביליות.
• ניתן לחשב שטח של כל אחד באמצעות הנוסחה בסיס ×גובה.
• בהתחשב באלכסונים;
– האלכסונים של המקבילית חוצים זה את זה, וחוצים את המקבילית כדי ליצור שני משולשים חופפים.
– האלכסונים של המעוין חוצים זה את זה בזוויות ישרות, והמשולשים הנוצרים הם שווי צלעות.
• בהתחשב בזוויות הפנימיות;
– זוויות פנימיות מנוגדות של המקבילית שוות בגודלן. שתי זוויות פנימיות סמוכות הן משלימות.
– הזוויות הפנימיות של המעוין חצויות באלכסונים.
• בהתחשב בצדדים;
– במקבילית, סכום הריבועים של הצלעות שווה לסכום ריבועי האלכסון (חוק המקביל).
– מכיוון שכל ארבע הצלעות שוות במעוין, ארבע פעמים הריבוע של הצלע שווה לסכום ריבועי האלכסון.
