מקבילה לעומת מרובע
מרובעים ומקבילים הם מצולעים המצויים בגיאומטריה האוקלידית. מקבילית היא מקרה מיוחד של המרובע. מרובעים יכולים להיות מישוריים (2D) או 3 מימדיים בעוד המקביליות תמיד מישוריות.
מרובע
מרובע הוא מצולע עם ארבע צלעות. יש לו ארבעה קודקודים, וסכום הזוויות הפנימיות הוא 3600 (2π רד). מרובעים מסווגים לקטגוריות מרובע צלעות ופשוטות. למרובעים המצטלבים את עצמם יש שתי צלעות או יותר החוצות זו את זו, ודמויות גיאומטריות קטנות יותר (כמו משולשים נוצרים בתוך המרובע).
המרובעים הפשוטים מחולקים גם הם למרובעים קמורים וקעורים. למרובעים קעורים יש צלעות סמוכות היוצרות זוויות רפלקס בתוך הדמות. המרובעים הפשוטים שאין להם זוויות רפלקס פנימיות הם מרובעים קמורים. למרובעים הקמורים תמיד יכולים להיות סמכים.
חלק עיקרי מהגיאומטריה של מרובעים ברמות הראשוניות נוגע למרובעים הקמורים. כמה מרובעים מוכרים לנו מאוד מימי בתי הספר היסודיים. להלן תרשים המציג מרובעים קמורים שונים.
Parallelogram
ניתן להגדיר את הפרללוגרמה כדמות הגיאומטרית בעלת ארבע צלעות, כאשר צלעות נגדיות מקבילות זו לזו. ליתר דיוק זהו מרובע עם שני זוגות של צלעות מקבילות. טבע מקביל זה נותן מאפיינים גיאומטריים רבים למקביליות.
מרובע הוא מקבילית אם נמצאו מאפיינים גיאומטריים הבאים.
• שני זוגות של צלעות מנוגדות שווים באורכם. (AB=DC, AD=BC)
• שני זוגות של זוויות מנוגדות שווים בגודלם. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• אם הזוויות הסמוכות הן משלימות [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• זוג צלעות, המנוגדות זו לזו, מקבילים ושווים באורכם. (AB=DC & AB∥DC)
• האלכסונים חוצים זה את זה (AO=OC, BO=OD)
• כל אלכסון מחלק את המרובע לשני משולשים חופפים. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
יותר מכך, סכום ריבועי הצלעות שווה לסכום ריבועי האלכסונים.זה מכונה לפעמים חוק המקבילה ויש לו יישומים נרחבים בפיזיקה ובהנדסה. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
כל אחד מהמאפיינים שלעיל יכול לשמש כמאפיינים, ברגע שיקבע שהמרובע הוא מקבילית.
ניתן לחשב את שטח המקבילית לפי מכפלה של אורך צד אחד והגובה לצד הנגדי. לכן, ניתן לציין את שטח המקבילית כ
אזור מקבילית=בסיס × גובה=AB×h
שטח המקבילית אינו תלוי בצורת המקבילה הבודדת. זה תלוי רק באורך הבסיס ובגובה הניצב.
אם ניתן לייצג את הצלעות של מקבילית על ידי שני וקטורים, ניתן לקבל את השטח על ידי גודל המכפלה הווקטורית (מכפלה צולבת) של שני הוקטורים הסמוכים.
אם הצלעות AB ו-AD מיוצגות על ידי הוקטורים ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) ו-([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) בהתאמה, השטח של מקבילית ניתנת על ידי [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], כאשר α היא הזווית בין [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] ו-[latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
להלן כמה מאפיינים מתקדמים של המקבילית;
• השטח של מקבילית הוא פי שניים משטחו של משולש שנוצר על ידי כל אחד מהאלכסונים שלו.
• שטח המקבילית מחולק לשניים על ידי כל קו העובר דרך נקודת האמצע.
• כל טרנספורמציה זיקה לא מנוונת לוקחת מקבילית למקבילית אחרת
• למקבילית יש סימטריה סיבובית בסדר 2
• סכום המרחקים מכל נקודה פנימית של מקבילית לצדדים אינו תלוי במיקום הנקודה
מה ההבדל בין מקבילית למרובע?
• מרובעים הם מצולעים עם ארבע צלעות (נקראים לפעמים טטראגונים) בעוד מקבילית היא סוג מיוחד של מרובע.
• צלעותיהם של מרובעים יכולות להיות במישורים שונים (במרחב תלת-ממדי) בעוד שכל הצדדים של המקבילית שוכנים על אותו מישור (מישוריים/דו-מימדיים).
• זוויות פנימיות של המרובע יכולות לקבל כל ערך (כולל זוויות רפלקס) כך שהן מסתכמות ב-3600. לפרללוגרמות יכולות להיות רק זוויות קהות כסוג הזווית המקסימלית.
• ארבע צלעות של המרובע יכולות להיות באורכים שונים בעוד שהצלעות הנגדיות של המקבילית תמיד מקבילות זו לזו ושוות באורכן.
• כל אלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, בעוד שהמשולשים הנוצרים מהאלכסון של מרובע כללי אינם בהכרח חופפים.
