Parallelogram vs Trapezoid
מקבילה וטרפז (או טרפז) הם שני מרובעים קמורים. למרות שאלו מרובעים, הגיאומטריה של הטרפז שונה משמעותית מהמקביליות.
Parallelogram
ניתן להגדיר את הפרללוגרמה כדמות הגיאומטרית בעלת ארבע צלעות, כאשר צלעות נגדיות מקבילות זו לזו. ליתר דיוק זהו מרובע עם שני זוגות של צלעות מקבילות. טבע מקביל זה נותן מאפיינים גיאומטריים רבים למקביליות.
מרובע הוא מקבילית אם נמצאו מאפיינים גיאומטריים הבאים.
• שני זוגות של צלעות מנוגדות שווים באורכם. (AB=DC, AD=BC)
• שני זוגות של זוויות מנוגדות שווים בגודלם. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• אם הזוויות הסמוכות הן משלימות [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• זוג צלעות, המנוגדות זו לזו, מקבילים ושווים באורכם. (AB=DC & AB∥DC)
• האלכסונים חוצים זה את זה (AO=OC, BO=OD)
• כל אלכסון מחלק את המרובע לשני משולשים חופפים. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
יותר מכך, סכום ריבועי הצלעות שווה לסכום ריבועי האלכסונים. זה מכונה לפעמים חוק המקבילה ויש לו יישומים נרחבים בפיזיקה ובהנדסה. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
כל אחד מהמאפיינים שלעיל יכול לשמש כמאפיינים, ברגע שיקבע שהמרובע הוא מקבילית.
ניתן לחשב את שטח המקבילית לפי מכפלה של אורך צד אחד והגובה לצד הנגדי. לכן, ניתן לציין את שטח המקבילית כ
אזור מקבילית=בסיס × גובה=AB×h
שטח המקבילית אינו תלוי בצורת המקבילה הבודדת. זה תלוי רק באורך הבסיס ובגובה הניצב.
אם ניתן לייצג את הצלעות של מקבילית על ידי שני וקטורים, ניתן לקבל את השטח על ידי גודל המכפלה הווקטורית (מכפלה צולבת) של שני הוקטורים הסמוכים.
אם הצלעות AB ו-AD מיוצגות על ידי הוקטורים ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) ו-([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) בהתאמה, השטח של מקבילית ניתנת על ידי [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], כאשר α היא הזווית בין [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] ו-[latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
להלן כמה מאפיינים מתקדמים של המקבילית;
• השטח של מקבילית הוא פי שניים משטחו של משולש שנוצר על ידי כל אחד מהאלכסונים שלו.
• שטח המקבילית מחולק לשניים על ידי כל קו העובר דרך נקודת האמצע.
• כל טרנספורמציה זיקה לא מנוונת לוקחת מקבילית למקבילית אחרת
• למקבילית יש סימטריה סיבובית בסדר 2
• סכום המרחקים מכל נקודה פנימית של מקבילית לצדדים אינו תלוי במיקום הנקודה
טרפז
טרפז (או טרפז באנגלית בריטית) הוא מרובע קמור שבו לפחות שתי צלעות מקבילות ולא שוות באורכן. הצדדים המקבילים של הטרפז ידועים כבסיסים ושני הצדדים האחרים נקראים הרגליים.
להלן המאפיינים העיקריים של טרפזים;
• אם הזוויות הסמוכות אינן על אותו בסיס של הטרפז, הן זוויות משלימות. כלומר, הם מסתכמים ב-180° ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latex])
• שני האלכסונים של טרפז מצטלבים באותו יחס (היחס בין קטע האלכסונים שווים).
• אם a ו-b הם בסיסים ו-c, d הם רגליים, אורכי האלכסונים ניתנים על ידי
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
ו
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
ניתן לחשב את השטח של הטרפז באמצעות הנוסחה הבאה
אזור של טרפז=[latex]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
מה ההבדל בין Parallelogram לטרפז (טרפז)?
• גם מקבילית וגם טרפז הם מרובעים קמורים.
• במקבילית, שני הזוגות של הצלעות המנוגדות מקבילות בעוד שבטרפז, רק זוג מקביל.
• האלכסונים של המקבילית חוצים זה את זה (יחס 1:1) בעוד שהאלכסונים של הטרפז מצטלבים ביחס קבוע בין החתכים.
• שטח המקבילית תלוי בגובה ובבסיס ואילו שטח הטרפז תלוי בגובה ובמקטע האמצעי.
• שני המשולשים שנוצרים על ידי אלכסון במקבילית הם תמיד חופפים בעוד שמשולשי הטרפז יכולים להיות חופפים או לא.
