משתנים אקראיים לעומת התפלגות הסתברות
ניסויים סטטיסטיים הם ניסויים אקראיים שניתן לחזור עליהם ללא הגבלת זמן עם קבוצה ידועה של תוצאות. גם משתנים אקראיים וגם התפלגויות הסתברות קשורים לניסויים כאלה. לכל משתנה אקראי, קיימת התפלגות הסתברות משויכת המוגדרת על ידי פונקציה הנקראת פונקציית התפלגות מצטברת.
מהו משתנה אקראי?
משתנה אקראי הוא פונקציה המקצה ערכים מספריים לתוצאות של ניסוי סטטיסטי. במילים אחרות, זוהי פונקציה המוגדרת ממרחב המדגם של ניסוי סטטיסטי לתוך קבוצת המספרים הממשיים.
לדוגמה, שקול ניסוי אקראי של הטלת מטבע פעמיים. התוצאות האפשריות הן HH, HT, TH ו-TT (H - ראשים, T - סיפורים). תן למשתנה X להיות מספר הראשים שנצפו בניסוי. לאחר מכן, X יכול לקחת את הערכים 0, 1 או 2, וזה משתנה אקראי. כאן, המשתנה האקראי X ימפה את קבוצת S={HH, HT, TH, TT} (מרחב המדגם) לקבוצה {0, 1, 2} באופן ש-HH ממופה ל-2, HT ו-TH ממופים ל-1 ו-TT ממופה ל-0. בסימון פונקציות, ניתן לכתוב זאת כ- X: S → R כאשר X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 ו-X(TT)=0.
ישנם שני סוגים של משתנים אקראיים: בדידים ורציפים, בהתאם לכך מספר הערכים האפשריים שמשתנה אקראי יכול להניח הוא לכל היותר ניתן לספירה או לא. בדוגמה הקודמת, המשתנה האקראי X הוא משתנה מקרי בדיד מכיוון ש-{0, 1, 2} הוא קבוצה סופית. כעת, שקול את הניסוי הסטטיסטי של מציאת משקלם של תלמידים בכיתה. תן Y להיות המשתנה האקראי המוגדר כמשקל של תלמיד. Y יכול לקחת כל ערך אמיתי בתוך מרווח מסוים. לפיכך, Y הוא משתנה אקראי רציף.
מהי התפלגות הסתברות?
התפלגות הסתברות היא פונקציה המתארת את ההסתברות של משתנה אקראי לקחת ערכים מסוימים.
ניתן להגדיר פונקציה הנקראת פונקציית התפלגות מצטברת (F) מקבוצת המספרים הממשיים לקבוצת המספרים הממשיים כ-F(x)=P(X ≤ x) (ההסתברות ש-X קטן מ- או שווה ל-x) עבור כל תוצאה אפשרית x. כעת ניתן לכתוב את פונקציית ההתפלגות המצטברת של X בדוגמה הראשונה כ-F(a)=0, אם a<0; F(a)=0.25, אם 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 ו-F(a)=1, if a≥2.
במקרה של משתנים אקראיים בדידים, ניתן להגדיר פונקציה מקבוצת התוצאות האפשריות לקבוצת המספרים הממשיים באופן ש-ƒ(x)=P(X=x) (ההסתברות של X שווה ל-x) עבור כל תוצאה אפשרית x. פונקציה מסוימת זו ƒ נקראת פונקציית מסת ההסתברות של המשתנה האקראי X.כעת ניתן לכתוב את פונקציית מסת ההסתברות של X בדוגמה הספציפית הראשונה כ-ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25, ו-ƒ(x)=0 אחרת. לפיכך, פונקציית מסת ההסתברות יחד עם פונקציית ההתפלגות המצטברת יתארו את התפלגות ההסתברות של X בדוגמה הראשונה.
במקרה של משתנים אקראיים רציפים, ניתן להגדיר פונקציה הנקראת פונקציית צפיפות ההסתברות (ƒ) כ-ƒ(x)=dF(x)/dx עבור כל x כאשר F היא פונקציית ההתפלגות המצטברת של ה- משתנה אקראי רציף. קל לראות שפונקציה זו עונה על ∫ƒ(x)dx=1. פונקציית צפיפות ההסתברות יחד עם פונקציית ההתפלגות המצטברת מתארת את התפלגות ההסתברות של משתנה מקרי רציף. לדוגמה, ההתפלגות הנורמלית (שהיא התפלגות הסתברות רציפה) מתוארת באמצעות פונקציית צפיפות ההסתברות ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
מה ההבדל בין משתנים אקראיים להתפלגות הסתברות?
• משתנה אקראי הוא פונקציה שמשייכת ערכים של מרחב מדגם למספר ממשי.
• התפלגות הסתברות היא פונקציה שמשייכת ערכים שמשתנה אקראי יכול לקחת להסתברות המתאימה להתרחשות.
