הבדל בין התפלגות בינומית ונורמלית

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 13:39

התפלגות בינומית לעומת רגילה

התפלגויות הסתברות של משתנים אקראיים ממלאות תפקיד חשוב בתחום הסטטיסטיקה. מתוך התפלגויות הסתברות אלו, התפלגות בינומית והתפלגות נורמלית הן שתיים מההתפלגות הנפוצות ביותר בחיים האמיתיים.

מהי התפלגות בינומית?

התפלגות בינומית היא התפלגות ההסתברות המתאימה למשתנה האקראי X, שהוא מספר ההצלחות של רצף סופי של ניסויים כן/לא עצמאיים שלכל אחד מהם יש הסתברות להצלחה p. מההגדרה של X, ניכר כי מדובר במשתנה אקראי בדיד; לכן, גם התפלגות בינומית היא בדידה.

ההתפלגות מסומנת כ-X ~ B (n, p) כאשר n הוא מספר הניסויים ו-p הוא ההסתברות להצלחה. על פי תורת ההסתברות, אנו יכולים להסיק ש-B (n, p) עוקב אחר פונקציית מסת ההסתברות [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. ממשוואה זו ניתן להסיק עוד שהערך הצפוי של X, E(X)=np והשונות של X, V(X)=np (1- p).

לדוגמה, שקול ניסוי אקראי של הטלת מטבע 3 פעמים. הגדירו הצלחה כהשגת H, כישלון כהשגת T ואת המשתנה האקראי X כמספר ההצלחות בניסוי. ואז X ~ B (3, 0.5) ופונקציית מסת ההסתברות של X נתונה על ידי [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. לכן, ההסתברות לקבל לפחות 2 H היא P(X ≥ 2)=P (X=2 או X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0.5²)(0.5¹) + ³ C₃(0.5³)(0.5^{0)=0.375 + 0.125=0.5.}

מהי התפלגות נורמלית?

התפלגות נורמלית היא התפלגות ההסתברות הרציפה המוגדרת על ידי פונקציית צפיפות ההסתברות, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. הפרמטרים [latex] \mu ו-\\sigma [/latex] מציינים את הממוצע ואת סטיית התקן של אוכלוסיית העניין. כאשר [latex] \mu=0 ו-\\sigma=1 [/latex] ההתפלגות נקראת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

התפלגות זו נקראת נורמלית מכיוון שרוב תופעות הטבע עוקבות אחר ההתפלגות הנורמלית. לדוגמה, מנת המשכל של האוכלוסייה האנושית מתפלגת באופן נורמלי.כפי שניתן לראות מהגרף, הוא אינו מודאלי, סימטרי לגבי הממוצע וצורת הפעמון. הממוצע, המצב והחציון חופפים. השטח מתחת לעקומה מתאים לחלק מהאוכלוסייה, המקיים תנאי נתון.

חלקי האוכלוסייה במרווח [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] הם בערך 68.2%, 95.6% ו-99.8% בהתאמה.

מה ההבדל בין התפלגות בינומית לרגילה?

• התפלגות בינומית היא התפלגות הסתברות נפרדת ואילו ההתפלגות הנורמלית היא התפלגות רציפה.
• פונקציית מסת ההסתברות של ההתפלגות הבינומית היא [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], בעוד שפונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות הנורמלית היא [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• התפלגות בינומית משוערת להתפלגות נורמלית בתנאים מסוימים, אך לא להיפך.