פונקציית התפלגות הסתברות לעומת פונקציית צפיפות ההסתברות
הסתברות היא הסבירות שאירוע יקרה. רעיון זה נפוץ מאוד, ומשמש לעתים קרובות בחיי היום יום כאשר אנו מעריכים את ההזדמנויות שלנו, העסקאות ודברים רבים אחרים. הרחבת הקונספט הפשוט הזה לאוסף גדול יותר של אירועים הוא קצת יותר מאתגר. לדוגמה, אנחנו לא יכולים להבין בקלות את הסיכויים לזכות בלוטו, אבל זה נוח, די אינטואיטיבי, לומר שיש סבירות של אחד מתוך שישה שנקבל את מספר שש בקובייה שנזרקה.
כאשר מספר האירועים שיכולים להתרחש הולך וגדל, או שמספר האפשרויות הבודדות גדול, הרעיון הפשוט למדי הזה של הסתברות נכשל. לכן, יש לתת לו הגדרה מתמטית מוצקה לפני שניגשים לבעיות בעלות מורכבות גבוהה יותר.
כאשר מספר האירועים שיכולים להתרחש במצב בודד גדול, אי אפשר להתייחס לכל אירוע בנפרד כמו בדוגמה של הקוביות שנזרקו. לפיכך, כל מערך האירועים מסוכם על ידי הצגת המושג של המשתנה האקראי. זהו משתנה, שיכול להניח את הערכים של אירועים שונים באותו מצב מסוים (או במרחב המדגם). זה נותן תחושה מתמטית לאירועים פשוטים בסיטואציה, ודרך מתמטית להתייחס לאירוע. ליתר דיוק, משתנה אקראי הוא פונקציית ערך ממשי מעל האלמנטים של מרחב המדגם. המשתנים האקראיים יכולים להיות בדידים או רציפים. הם מסומנים בדרך כלל באותיות גדולות של האלפבית האנגלי.
פונקציית התפלגות ההסתברות (או פשוט, התפלגות ההסתברות) היא פונקציה שמקצה את ערכי ההסתברות לכל אירוע; כלומר, הוא מספק יחס להסתברויות עבור הערכים שהמשתנה המקרי יכול לקבל.פונקציית התפלגות ההסתברות מוגדרת עבור משתנים אקראיים נפרדים.
פונקציית צפיפות ההסתברות היא המקבילה לפונקציית התפלגות ההסתברות עבור המשתנים האקראיים הרציפים, נותנת את הסבירות של משתנה אקראי מסוים להניח ערך מסוים.
אם X הוא משתנה אקראי בדיד, הפונקציה הניתנת כ-f (x)=P (X=x) עבור כל x בטווח של X נקראת פונקציית התפלגות ההסתברות. פונקציה יכולה לשמש כפונקציית התפלגות ההסתברות אם ורק אם הפונקציה עומדת בתנאים הבאים.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
פונקציה f (x) המוגדרת על קבוצת המספרים הממשיים נקראת פונקציית צפיפות ההסתברות של המשתנה האקראי הרציף X, אם ורק אם, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx עבור כל קבועים ממשיים a ו-b.
פונקציית צפיפות ההסתברות צריכה לעמוד גם בתנאים הבאים.
1. f (x) ≥ 0 עבור כל x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
הן פונקציית התפלגות ההסתברות והן פונקציית צפיפות ההסתברות משמשות לייצוג התפלגות ההסתברויות על פני מרחב המדגם. בדרך כלל, אלה נקראות התפלגויות הסתברות.
עבור מודלים סטטיסטיים, נגזרות פונקציות צפיפות הסתברות סטנדרטיות ופונקציות התפלגות הסתברות. ההתפלגות הנורמלית והתפלגות הנורמלית הסטנדרטית הן דוגמאות להתפלגויות ההסתברות הרציפות. התפלגות בינומית והתפלגות פואסון הן דוגמאות להתפלגויות הסתברות נפרדות.
מה ההבדל בין התפלגות הסתברות לפונקציית צפיפות הסתברות?
• פונקציית התפלגות ההסתברות ופונקציית צפיפות ההסתברות הן פונקציות המוגדרות על פני מרחב המדגם, כדי להקצות את ערך ההסתברות הרלוונטי לכל אלמנט.
• פונקציות התפלגות הסתברות מוגדרות עבור המשתנים האקראיים הבדידים בעוד שפונקציות צפיפות ההסתברות מוגדרות עבור המשתנים האקראיים הרציפים.
• התפלגות ערכי הסתברות (כלומר התפלגויות הסתברות) מוצגות בצורה הטובה ביותר על ידי פונקציית צפיפות ההסתברות ופונקציית התפלגות ההסתברות.
• ניתן לייצג את פונקציית התפלגות ההסתברות כערכים בטבלה, אבל זה לא אפשרי עבור פונקציית צפיפות ההסתברות מכיוון שהמשתנה רציף.
• כשמתווים, פונקציית התפלגות ההסתברות נותנת סרגל בעוד שפונקציית צפיפות ההסתברות נותנת עקומה.
• הגובה/אורך של הפסים של פונקציית התפלגות ההסתברות חייבים להוסיף ל-1 בעוד שהשטח מתחת לעקומה של פונקציית צפיפות ההסתברות חייב להוסיף ל-1.
• בשני המקרים, כל הערכים של הפונקציה חייבים להיות לא שליליים.
