Fourier Series vs Fourier Transform
סדרת פורייה מפרקת פונקציה מחזורית לסכום של סינוסים וקוסינוסים עם תדרים ואמפליטודות שונות. סדרת פורייה היא ענף של ניתוח פורייה והיא הוצגה על ידי ג'וזף פורייה. טרנספורמציה של פורייה היא פעולה מתמטית הפורצת אות לתדרים המרכיבים אותו. האות המקורי שהשתנה עם הזמן נקרא ייצוג תחום הזמן של האות. טרנספורמציה של פורייה נקראת ייצוג תחום התדר של אות מכיוון שהיא תלויה בתדר. הן ייצוג תחום התדר של אות והן התהליך המשמש להפיכת אות זה לתחום התדר נקראים טרנספורמציה פורייה.
מהי סדרת פורייה?
כפי שהוזכר קודם לכן, סדרת פורייה היא הרחבה של פונקציה מחזורית באמצעות סכום אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. סדרת פורייה פותחה בתחילה בעת פתרון משוואות חום, אך מאוחר יותר התברר שניתן להשתמש באותה טכניקה כדי לפתור קבוצה גדולה של בעיות מתמטיות במיוחד הבעיות הכרוכות במשוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים. כעת, לסדרת פורייה יש יישומים במספר רב של תחומים כולל הנדסת חשמל, ניתוח רעידות, אקוסטיקה, אופטיקה, עיבוד אותות, עיבוד תמונה, מכניקת קוונטים ואקונומטריה. סדרות פורייה משתמשות ביחסי האורתוגונליות של פונקציות סינוס וקוסינוס. החישוב והלימוד של סדרות פורייה ידוע כניתוח הרמוני והוא שימושי מאוד בעבודה עם פונקציות מחזוריות שרירותיות, שכן הוא מאפשר לפרק את הפונקציה למונחים פשוטים שניתן להשתמש בהם כדי לקבל פתרון לבעיה המקורית.
מהי התמרת פורייה?
טרנספורמציה של פורייה מגדירה יחס בין אות בתחום הזמן לבין הייצוג שלו בתחום התדר. טרנספורמציה של פורייה מפרקת פונקציה לפונקציות נדנודות. מכיוון שמדובר בטרנספורמציה, ניתן לקבל את האות המקורי מהכרת הטרנספורמציה, ולכן לא נוצר או אובד מידע בתהליך. מחקר של סדרת פורייה למעשה מספק מוטיבציה להתמרת פורייה. בגלל תכונות הסינוסים והקוסינוסים ניתן לשחזר את כמות הגל תורם לסכום באמצעות אינטגרל. לטרנספורמציה של פורייה יש כמה מאפיינים בסיסיים כמו לינאריות, תרגום, אפנון, קנה מידה, צימוד, דואליות וקונבולוציה. טרנספורמציה פורייה מיושמת בפתרון משוואות דיפרנציאליות שכן התמרת פורייה קשורה קשר הדוק להתמרת לפלס. טרנספורמציה פורייה משמשת גם בתהודה מגנטית גרעינית (NMR) ובסוגים אחרים של ספקטרוסקופיה.
הבדל בין סדרת פורייה ל-Fourier Transform
סדרת פורייה היא הרחבה של האות המחזורי כשילוב ליניארי של סינוסים וקוסינוסים בעוד שהטרנספורמציה של פורייה היא התהליך או הפונקציה המשמשת להמרת אותות מתחום זמן לתחום תדר. סדרת פורייה מוגדרת לאותות מחזוריים וניתן ליישם את התמרת פורייה על אותות א-מחזוריים (המתרחשים ללא מחזוריות). כפי שהוזכר לעיל, המחקר של סדרות פורייה למעשה מספק מוטיבציה להתמרת פורייה.
