התפלגות הסתברות בדידות לעומת רציפות
ניסויים סטטיסטיים הם ניסויים אקראיים שניתן לחזור עליהם ללא הגבלת זמן עם קבוצה ידועה של תוצאות. אומרים שמשתנה הוא משתנה אקראי אם הוא תוצאה של ניסוי סטטיסטי. לדוגמה, שקול ניסוי אקראי של הטלת מטבע פעמיים; התוצאות האפשריות הן HH, HT, TH ו-TT. תן למשתנה X להיות מספר הראשים בניסוי. לאחר מכן, X יכול לקחת את הערכים 0, 1 או 2, וזה משתנה אקראי. שים לב שיש הסתברות מוגדרת לכל אחת מהתוצאות X=0, X=1 ו-X=2.
לכן, ניתן להגדיר פונקציה מקבוצת התוצאות האפשריות לקבוצת המספרים הממשיים באופן ש-ƒ(x)=P(X=x) (ההסתברות ש-X שווה ל-x) עבור כל תוצאה אפשרית x. פונקציה מסוימת זו f נקראת פונקציית מסת ההסתברות/צפיפות של המשתנה האקראי X. כעת ניתן לכתוב את פונקציית מסת ההסתברות של X, בדוגמה הספציפית הזו, כ-ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ (2)=0.25.
כמו כן, ניתן להגדיר פונקציה הנקראת פונקציית התפלגות מצטברת (F) מקבוצת המספרים הממשיים לקבוצת המספרים הממשיים כ-F(x)=P(X ≤x) (ההסתברות ש-X יהיה קטן יותר מאשר או שווה ל-x) עבור כל תוצאה אפשרית x. כעת ניתן לכתוב את פונקציית ההתפלגות המצטברת של X, בדוגמה הספציפית הזו, כ-F(a)=0, אם a<0; F(a)=0.25, אם 0≤a<1; F(a)=0.75, אם 1≤a<2; F(a)=1, אם a≥2.
מהי התפלגות הסתברות בדידה?
אם המשתנה האקראי הקשור להתפלגות ההסתברות הוא בדיד, אז התפלגות הסתברות כזו נקראת בדיד.התפלגות כזו מוגדרת על ידי פונקציית מסת הסתברות (ƒ). הדוגמה שניתנה לעיל היא דוגמה להתפלגות כזו שכן למשתנה האקראי X יכול להיות רק מספר סופי של ערכים. דוגמאות נפוצות להתפלגויות הסתברות בדידות הן התפלגות בינומית, התפלגות פואסון, התפלגות היפר-גיאומטרית והתפלגות רב-נומית. כפי שניתן לראות מהדוגמה, פונקציית התפלגות מצטברת (F) היא פונקציית צעד ו-∑ ƒ(x)=1.
מהי התפלגות הסתברות רציפה?
אם המשתנה האקראי הקשור להתפלגות ההסתברות הוא רציף, אזי נאמר שהתפלגות הסתברות כזו היא רציפה. התפלגות כזו מוגדרת באמצעות פונקציית התפלגות מצטברת (F). לאחר מכן ניתן לראות שפונקציית צפיפות ההסתברות ƒ(x)=dF(x)/dx וכי ∫ƒ(x) dx=1. התפלגות נורמלית, התפלגות t של תלמיד, התפלגות צ'י בריבוע והתפלגות F הן דוגמאות נפוצות עבור מתמשך התפלגויות הסתברות.
מה ההבדל בין התפלגות הסתברות בדיד להתפלגות הסתברות רציפה?
• בהתפלגויות הסתברות בדידות, המשתנה האקראי המשויך אליו הוא בדיד, ואילו בהתפלגויות הסתברות רציפות, המשתנה האקראי הוא רציף.
• התפלגויות הסתברות רציפות מוצגות בדרך כלל באמצעות פונקציות צפיפות הסתברות, אך התפלגויות הסתברות בדידות מוצגות באמצעות פונקציות מסת הסתברות.
• עלילת התדר של התפלגות הסתברות בדיד אינה רציפה, אבל היא רציפה כאשר ההתפלגות היא רציפה.
• ההסתברות שמשתנה מקרי רציף יניח ערך מסוים היא אפס, אבל זה לא המקרה במשתנים אקראיים בדידים.
