הבדל בין ברנולי לבינומי

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 13:39

ברנולי נגד בינומיאל

לעתים קרובות מאוד בחיים האמיתיים, אנו נתקלים באירועים שיש להם רק שתי תוצאות שחשובות. לדוגמה, או שנעבור ראיון עבודה שעמד בפנינו או נכשל בראיון זה, או שהטיסה שלנו יוצאת בזמן או שהיא מתעכבת. בכל המצבים הללו, נוכל ליישם את מושג ההסתברות 'משפטי ברנולי'.

ברנולי

ניסוי אקראי עם שתי תוצאות אפשריות בלבד עם הסתברות p ו-q; כאשר p+q=1, נקרא משפטי ברנולי לכבוד ג'יימס ברנולי (1654-1705). בדרך כלל אומרים ששתי התוצאות של הניסוי הן 'הצלחה' או 'כישלון'.

לדוגמה, אם נשקול הטלת מטבע, ישנן שתי תוצאות אפשריות, שנאמר "ראש" או "זנב". אם אנחנו מעוניינים שהראש ייפול; ההסתברות להצלחה היא 1/2, שניתן לסמן כ-P (הצלחה)=1/2, וההסתברות לכישלון היא 1/2. באופן דומה, כאשר אנו מטילים שתי קוביות, אם אנו מעוניינים רק שסכום שתי הקוביות יהיה 8, P (הצלחה)=5/36 ו-P (כשל)=1- 5/36=31/36.

תהליך ברנולי הוא התרחשות של רצף של ניסויים ברנולי באופן עצמאי; לכן, ההסתברות להצלחה נשארת זהה עבור כל ניסוי. בנוסף, עבור כל ניסוי ההסתברות לכישלון היא 1-P(הצלחה).

מכיוון שהמסלולים הבודדים הם עצמאיים, ניתן לחשב הסתברות לאירוע בתהליך ברנולי על ידי לקיחת המכפלה של הסתברויות להצלחה וכישלון. לדוגמה, אם ההסתברות להצלחה [P(S)] מסומנת ב-p והסתברות לכישלון [P (F)] מסומנת ב-q; ואז P(SSSF)=p³q ו-P(FFSS)=p²q²

בינומי

ניסויי ברנולי מובילים להתפלגות בינומית. ברוב המקרים אנשים מתבלבלים עם שני המונחים 'ברנולי' ו'בינומיאל'. התפלגות בינומית היא סכום של ניסויי ברנולי עצמאיים ומפוזרים באופן שווה. התפלגות בינומית מסומנת בסימון b(k;n,p); b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, כאשר C(n, k) ידוע בתור המקדם הבינומי. ניתן לחשב את המקדם הבינומי C(n,k) באמצעות הנוסחה n!/k!(n-k)!.}

לדוגמה, אם הגרלה מיידית עם 25% כרטיסים זוכים נמכרת בקרב 10 אנשים, ההסתברות לרכישת כרטיס מנצח היא b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0.75)^{9 ≈ 9 x 0.25 x 0.075 ≈ 0.169}

מה ההבדל בין ברנולי לבינומיאל?

• ניסוי ברנולי הוא ניסוי אקראי עם שתי תוצאות אפשריות בלבד.
• ניסוי בינומי הוא רצף של ניסויים ברנולי המבוצעים באופן עצמאי.