אינטגרלים מוגדרים לעומת אינטגרלים בלתי מוגדרים
חשבון הוא ענף חשוב במתמטיקה, והבידול ממלא תפקיד קריטי בחשבון. התהליך ההפוך של ההבחנה מכונה אינטגרציה, וההיפוך ידוע בתור האינטגרל, או במילים פשוטות, ההיפוך של הבידול נותן אינטגרל. על סמך התוצאות שהם מייצרים האינטגרלים מחולקים לשתי מחלקות; אינטגרלים מוגדרים ובלתי מוגדרים.
עוד על אינטגרלים בלתי מוגדרים
אינטגרל בלתי מוגדר הוא יותר צורה כללית של אינטגרציה, וניתן לפרש אותו כאנטי-נגזרת של הפונקציה הנחשבת.נניח שהבידול של F נותן f, והשילוב של f נותן את האינטגרל. לעתים קרובות הוא כתוב כ-F(x)=∫ƒ(x)dx או F=∫ƒ dx כאשר גם F וגם ƒ הם פונקציות של x, ו-F ניתן להבדיל. בצורה שלעיל, הוא נקרא אינטגרל ריימן והפונקציה המתקבלת מלווה בקבוע שרירותי. אינטגרל בלתי מוגדר מייצר לעתים קרובות משפחה של פונקציות; לכן, האינטגרל אינו מוגדר.
אינטגרלים ותהליך האינטגרציה הם הליבה של פתרון משוואות דיפרנציאליות. עם זאת, בשונה מהבידול, האינטגרציה אינה פועלת על פי שגרה ברורה ותקנית תמיד; לפעמים, הפתרון לא יכול להתבטא במפורש במונחים של תפקוד אלמנטרי. במקרה זה, הפתרון האנליטי ניתן לעתים קרובות בצורה של אינטגרל בלתי מוגדר.
עוד על אינטגרלים מוגדרים
אינטגרלים מוגדרים הם המקבילים המוערכים ביותר של אינטגרלים בלתי מוגדרים שבהם תהליך האינטגרציה מייצר למעשה מספר סופי.ניתן להגדיר אותו בצורה גרפית כשטח התחום על ידי העקומה של הפונקציה ƒ בתוך מרווח נתון. בכל פעם שהאינטגרציה מתבצעת בתוך מרווח נתון של המשתנה הבלתי תלוי, האינטגרציה מייצרת ערך מוגדר שנכתב לרוב כ-a∫bƒ(x) dx או a∫b ƒdx.
האינטגרלים הבלתי מוגדרים והאינטגרלים המוגדרים קשורים זה בזה דרך המשפט היסודי הראשון של החשבון, וזה מאפשר לחשב את האינטגרל המוגדר באמצעות האינטגרלים הבלתי מוגדרים. המשפט קובע a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) כאשר גם F וגם ƒ הם פונקציות של x, וכן F ניתן להבדיל במרווח (א, ב). בהתחשב במרווח, a ו-b ידועים בתור הגבול התחתון והגבול העליון בהתאמה.
במקום להפסיק עם פונקציות אמיתיות בלבד, ניתן להרחיב את האינטגרציה לפונקציות מורכבות ואינטגרלים אלה נקראים אינטגרלי מתאר, כאשר ƒ היא פונקציה של המשתנה המורכב.
מה ההבדל בין אינטגרלים מוגדרים ובלתי מוגדרים?
אינטגרלים בלתי מוגדרים מייצגים את הנגזרת האנטי של פונקציה, ולעתים קרובות, משפחה של פונקציות ולא פתרון מוגדר. באינטגרלים מוגדרים, האינטגרציה נותנת מספר סופי.
אינטגרלים בלתי מוגדרים מקשרים משתנה שרירותי (ומכאן משפחת הפונקציות) ולאינטגרלים מוגדרים אין קבוע שרירותי, אלא גבול עליון וגבול תחתון של אינטגרציה.
אינטגרל בלתי מוגדר בדרך כלל נותן פתרון כללי למשוואת הדיפרנציאל.
