הבדל בין מטריצה צמודה למטריצה הפוכה

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 13:39

Adjoint vs Inverse Matrix

הן מטריצה צמודה והן המטריצה ההפוכה מתקבלות מפעולות ליניאריות על מטריצה, והן שתי מטריצות שונות בעלות תכונות שונות.

למידע נוסף על (קלאסי) מטריצה צמודה או התאמה

המטריצה הצמודה, או המטריצה המסודרת היא הטרנספוזה של מטריצת הקופקטור. אם מטריצת הקופקטור של A היא C, אזי המטריצה המסודרת של A ניתנת על ידי C ^T. כלומר adj(A)=C ^T.

מטריצת קו-פקטור ניתנת על ידי C=(-1)^i+j M _ij, כאשר M _ij הוא המינור של האלמנט ij^th.הקובע של המטריצה המתקבל על ידי הסרת השורה i^th והעמודה j^th ידוע בתור המינורי של ij^{th אלמנט. [כדי לחשב את מטריצת ההסתגלות, מצא תחילה את הקטינים של כל אלמנט, ולאחר מכן צור את מטריצת הקופקטור, ולבסוף לוקחים את הטרנספוזיה של המעניקה את המטריצה המוסמכת].}

ניתן להשתמש ב-Adjoint כדי לחשב את היפוך של מטריצה ולמצוא את הנגזרת של דטרמיננטה על ידי הנוסחה של Jacobi. המונח "צמוד" מיושן למדי וכעת משמש לצמוד מורכב של מטריצה. לכן, המונח המתאים הוא מטריצה צמודה או מטריצה משלימה.

עוד על מטריצה הפוכה

היפוך של מטריצה מוגדר כמטריצה שנותנת את מטריצת הזהות כאשר מכפילים אותה יחד. לכן, בהגדרה, אם AB=BA=I, אז B היא המטריצה ההפוכה של A ו-A היא המטריצה ההפוכה של B. לכן, אם ניקח בחשבון את B=A ^-1, אז AA ^-1 =A ^{-1 A=I}

כדי שמטריצה תהיה הפיכה, התנאי ההכרחי והמספיק הוא שהדטרמיננטה של A איננה אפס.כלומר | א |=det(A) ≠ 0. אומרים שמטריצה היא הפיכה, לא יחידה או לא ניוונית אם היא עומדת בתנאי זה. מכאן נובע ש-A היא מטריצה מרובעת וגם ל-A ^{-1 וגם ל-A יש אותו גודל.}

ניתן לחשב את היפוך של מטריצה A בשיטות רבות באלגברה לינארית כמו חיסול גאוסי, פירוק עצמי, פירוק Cholesky וכלל קרמר. ניתן להפוך מטריצה גם באמצעות שיטת היפוך בלוק וסדרת נוימן.

כלל ה-Cramer מספק שיטה אנליטית למציאת היפוך של מטריצה, וניתן להסביר את מצב אי-הסינגולריות גם על ידי התוצאות. לפי הכלל של Cramer A ^-1 =adj(A)/det(A) או adj(A)=A ^{-1 det(A). כדי שתוצאה זו תהיה חוקית, det(A) ≠ 0, לפיכך המטריצות ניתנות להפיכה אם ורק אם התנאי שלעיל מתקיים.}

מה ההבדל בין מטריצות צמודות ומטריצות הפוכה?

• התוסף או הצמוד של מטריצה הוא הטרנספוזיציה של מטריצת הקופקטור, בעוד שמטריצה הפוכה היא מטריצה שנותנת את מטריצת הזהות כשהיא כפולה יחד.

• ניתן להשתמש במטריצת ההתאמה לחישוב המטריצה ההפוכה והיא אחת השיטות הנפוצות למציאת ההפוכים באופן ידני.

• עבור כל מטריצה, קיימת מטריצה מסודרת, אבל ההיפוך קיים אם ורק אם הקובע אינו אפס.