היפרבולה נגד אליפסה
כאשר חרוט נחתך בזוויות שונות, עקומות שונות מסומנות על ידי קצה החרוט. עקומות אלה נקראות לעתים קרובות חתכים חרוטיים. ליתר דיוק, חתך חרוטי הוא עקומה המתקבלת על ידי חיתוך משטח חרוטי עגול ישר עם משטח מישור. בזוויות צומת שונות, ניתנים חתכים חרוטיים שונים.
הן ההיפרבולה והאליפסה הן חתכים חרוטיים, וההבדלים ביניהם מושווים בקלות בהקשר זה.
עוד על Ellipse
כאשר ההצטלבות של המשטח החרוט והמשטח המישורי מייצרת עקומה סגורה, היא ידועה כאליפסה. יש לו אקסצנטריות בין אפס לאחד (0<e<1). זה יכול להיות מוגדר גם כמקום של קבוצת הנקודות במישור כך שסכום המרחקים לנקודה משתי נקודות קבועות נשאר קבוע. שתי הנקודות הקבועות הללו ידועות כ'מוקדים'. (זכור; בשיעורי מתמטיקה יסודיים מציירים את האליפסים באמצעות חוט הקשור לשני סיכות קבועות, או לולאת מיתר ושתי סיכות.)
קטע הקו העובר דרך המוקדים ידוע בתור הציר הראשי, והציר המאונך לציר הראשי ועובר במרכז האליפסה ידוע בתור הציר המינורי.הקטרים לאורך כל ציר ידועים בתור הקוטר הרוחבי וקוטר המצומד בהתאמה. חצי מהציר הראשי ידוע כציר חצי עיקרי, ומחצית מהציר המינורי מכונה ציר חצי מינורי.
כל נקודה F1 ו-F2 ידועים כמוקדי האליפסה והאורכים F1 + PF2 =2a, כאשר P היא נקודה שרירותית באליפסה. אקסצנטריות e מוגדרת כיחס בין המרחק ממוקד לנקודה השרירותית (PF 2) לבין המרחק הניצב לנקודה השרירותית מה-directrix (PD). הוא שווה גם למרחק בין שני המוקדים לציר חצי-עיקרי: e=PF/PD=f/a
המשוואה הכללית של האליפסה, כאשר הציר החצי-עיקרי והציר החצי-מינורי עולים בקנה אחד עם הצירים הקרטזיניים, ניתנת כדלקמן.
x2/a2 + y2/b2=1
לגיאומטריה של האליפסה יש יישומים רבים, במיוחד בפיזיקה.מסלולי כוכבי הלכת במערכת השמש הם אליפטיים כשהשמש כמוקד אחד. הרפלקטורים לאנטנות ולמכשירים אקוסטיים עשויים בצורה אליפטית כדי לנצל את העובדה שכל פליטה יוצר מוקד תתכנס למוקד השני.
עוד על Hyperbola
ההיפרבולה היא גם חתך חרוטי, אבל הוא פתוח. המונח היפרבולה מתייחס לשתי העקומות המנותקות המוצגות באיור. במקום להיסגר כמו אליפסה, הזרועות או הענפים של ההיפרבולה ממשיכים עד האינסוף.
הנקודות שבהן לשני הענפים יש את המרחק הקצר ביותר ביניהן ידועות כקודקודים. הקו העובר דרך הקודקודים נחשב לציר הראשי או הציר הרוחבי, וזהו אחד הצירים העיקריים של ההיפרבולה.שני המוקדים של הפרבולה נמצאים גם הם על הציר הראשי. נקודת האמצע של הישר בין שני הקודקודים היא המרכז, ואורך קטע הישר הוא הציר החצי-עיקרי. החציו הניצב של הציר החצי-עיקרי הוא הציר הראשי השני, ושתי העקומות של ההיפרבולה סימטריות סביב ציר זה. האקסצנטריות של הפרבולה גדולה מאחת; e > 1.
אם הצירים העיקריים עולים בקנה אחד עם הצירים הקרטזיניים, המשוואה הכללית של ההיפרבולה היא בצורה:
x2/a2 – y2/b2=1,
כאשר a הוא הציר הראשי למחצה ו-b הוא המרחק מהמרכז לכל מיקוד.
ההיפרבולות עם קצוות פתוחים הפונים לציר ה-x ידועות כהיפרבולות מזרח-מערב. ניתן להשיג היפרבולות דומות גם על ציר ה-y. אלה ידועים בתור היפרבולות בציר ה-y. המשוואה עבור היפרבולות כאלה לובשת את הצורה
y2/a2 – x2/b2=1
מה ההבדל בין היפרבולה לאליפסה?
• גם אליפסות וגם ההיפרבולה הן חתכים חרוטיים, אבל האליפסה היא עקומה סגורה בעוד שההיפרבולה מורכבת משתי עקומות פתוחות.
• לכן, לאליפסה יש היקף סופי, אבל להיפרבולה יש אורך אינסופי.
• שניהם סימטריים סביב הציר הגדול והמשני שלהם, אבל המיקום של הכיוון שונה בכל מקרה. באליפסה, הוא שוכב מחוץ לציר החצי-עיקרי ואילו בהיפרבולה הוא שוכן בציר החצי-עיקרי.
• האקסצנטריות של שני החתכים החרוטיים שונים.
0 <eEllipse < 1
eHyperbola > 0
• המשוואה הכללית של שתי העקומות נראית זהה, אבל הן שונות.
• חוצה ניצב של הציר הראשי חוצה את העקומה באליפסה, אך לא בהיפרבולה.
(מקור תמונות: ויקיפדיה)
