הבדל בין רצף אריתמטי לרצף גיאומטרי

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-17 23:32

רצף אריתמטי לעומת רצף גיאומטרי

חקר תבניות של מספרים והתנהגותם הוא מחקר חשוב בתחום המתמטיקה. לעתים קרובות ניתן לראות דפוסים אלו בטבע ועוזרים לנו להסביר את התנהגותם בנקודת מבט מדעית. רצפים אריתמטיים ורצפים גיאומטריים הם שניים מהתבניות הבסיסיות המופיעות במספרים, ונמצאים לעתים קרובות בתופעות טבע.

הרצף הוא קבוצה של מספרים מסודרים. מספר האלמנטים ברצף יכול להיות סופי או אינסופי.

עוד על רצף אריתמטי (התקדמות אריתמטרית)

רצף אריתמטי מוגדר כרצף של מספרים עם הבדל קבוע בין כל איבר עוקב. זה ידוע גם בתור התקדמות אריתמטית.

Arithmetic Sequnece ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; כאשר a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, וכן הלאה.}

אם האיבר ההתחלתי הוא a₁ וההבדל המשותף הוא d, אז האיבר n^{th של הרצף ניתן על ידי;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

על ידי המשך התוצאה שלמעלה, ניתן לתת את המונח n^{th גם בתור;}

a_n =a_m + (n-m)d, כאשר a_{m הוא מונח אקראי ברצף כך ש-n > m.}

קבוצת המספרים הזוגיים וקבוצת המספרים האי-זוגיים הם הדוגמאות הפשוטות ביותר לרצפים אריתמטיים, כאשר לכל רצף יש הבדל משותף (d) של 2.

מספר האיברים ברצף יכול להיות אינסופי או סופי.במקרה האינסופי (n → ∞), הרצף נוטה לאינסוף בהתאם להבדל המשותף (a_{n → ±∞). אם ההבדל המשותף הוא חיובי (d > 0), הרצף נוטה לאינסוף חיובי, ואם ההבדל המשותף הוא שלילי (d < 0), הוא נוטה לאינסוף השלילי. אם המונחים סופיים, הרצף הוא גם סופי.}

סכום האיברים ברצף האריתמטי ידוע בתור סדרת החשבונות: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _ו-Sn_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] נותן את הערך של סדרה (S}n)

עוד על רצף גיאומטרי (התקדמות גיאומטרית)

רצף גיאומטרי מוגדר כרצף שבו המנה של כל שני איברים עוקבים היא קבועה. זה ידוע גם בתור התקדמות גיאומטרית.

רצף גיאומטרי ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; כאשר a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, וכן הלאה, כאשר r הוא מספר ממשי.}

קל יותר לייצג את הרצף הגיאומטרי באמצעות היחס המשותף (r) והאיבר ההתחלתי (a). מכאן הרצף הגיאומטרי ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

הצורה הכללית של התנאים n^th שניתנו על ידי a_n =a₁r ^n-1. (מאבד את המנוי של המונח הראשוני ⇒ a_n =ar^n-1)

הרצף הגיאומטרי יכול להיות גם סופי או אינסופי. אם מספר האיברים סופי, אומרים שהרצף סופי. ואם המונחים הם אינסופיים, הרצף יכול להיות אינסופי או סופי בהתאם ליחס r. היחס המשותף משפיע על רבים מהמאפיינים ברצפים גיאומטריים.

r > o	0 < r < +1	הרצף מתכנס – דעיכה מעריכית, כלומר an → 0, n → ∞
	r=1	רצף קבוע, כלומר an=קבוע
	r > 1	הרצף מתפצל – צמיחה מעריכית, כלומר an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	הרצף מתנודד, אבל מתכנס
	r=1	הרצף הוא לסירוגין וקבוע, כלומר an=±קבוע
	r < -1	הרצף מתחלף ומתפצל. כלומר an → ±∞, n → ∞
r=0	הרצף הוא מחרוזת של אפסים

N. B: בכל המקרים לעיל, a₁ > 0; אם a₁ < 0, הסימנים הקשורים ל_{n יהפכו.}

מרווח הזמן בין הקפצות של כדור עוקב אחר רצף גיאומטרי במודל האידיאלי, והוא רצף מתכנס.

סכום האיברים של הרצף הגיאומטרי ידוע בתור סדרה גיאומטרית; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. ניתן לחשב את סכום הסדרה הגיאומטרית באמצעות הנוסחה הבאה.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); כאשר a הוא האיבר ההתחלתי ו-r הוא היחס.}

אם היחס, r ≤ 1, הסדרה מתכנסת. עבור סדרה אינסופית, ערך ההתכנסות ניתן על ידי S_n=a/(1-r)

מה ההבדל בין רצף/התקדמות אריתמטי לגיאומטרי?

• ברצף אריתמטי, לכל שני איברים עוקבים יש הבדל משותף (ד) בעוד שברצף גיאומטרי, לכל שני איברים עוקבים יש מנה קבועה (r).

• ברצף אריתמטי, הווריאציה של המונחים היא לינארית, כלומר ניתן לצייר קו ישר העובר דרך כל הנקודות. בסדרה גיאומטרית, הווריאציה היא אקספוננציאלית; גדל או מתפרק על סמך היחס המשותף.

• כל הרצפים האריתמטיים האינסופיים מתפצלים, בעוד שסדרות גיאומטריות אינסופיות יכולות להיות מתפצלות או מתכנסות.

• הסדרה הגיאומטרית יכולה להראות תנודה אם היחס r שלילי בעוד שהסדרה האריתמטית לא מציגה תנודה