Laplace נגד פורייה טרנספורמציות
הן טרנספורמציה של לפלס והן טרנספורמציה פורייה הן טרנספורמציות אינטגרליות, המשמשות לרוב כשיטות מתמטיות לפתרון מערכות פיזיקליות במודל מתמטי. התהליך פשוט. מודל מתמטי מורכב מומר למודל פשוט יותר וניתן לפתרון באמצעות טרנספורמציה אינטגרלית. לאחר פתרון המודל הפשוט יותר, מופעלת הטרנספורמציה האינטגרלית ההפוכה, שתספק את הפתרון למודל המקורי.
לדוגמה, מכיוון שרוב המערכות הפיזיקליות מביאות למשוואות דיפרנציאליות, ניתן להמיר אותן למשוואות אלגבריות או למשוואות דיפרנציאליות הניתנות לפתרון בקלות בדרגה נמוכה יותר באמצעות טרנספורמציה אינטגרלית. אז פתרון הבעיה יהפוך לקל יותר.
מהי טרנספורמציה של לפלס?
בהינתן פונקציה f (t) של משתנה ממשי t, טרנספורמציה הלפלאס שלו מוגדרת על ידי האינטגרל [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (בכל פעם שהוא קיים), שהיא פונקציה של משתנה מורכב s. זה מסומן בדרך כלל על ידי L { f (t)}. טרנספורמציה לפלס הפוכה של פונקציה F (s) נחשבת לפונקציה f (t) באופן ש-L { f (t)}=F (s), ובסימונים המתמטיים הרגילים אנו כותבים, L-1{ F (s)}=f (t). ניתן להפוך את הטרנספורמציה ההפוכה לייחודית אם פונקציות null אינן מותרות. אפשר לזהות את שני אלה כאופרטורים ליניאריים המוגדרים במרחב הפונקציות, וקל גם לראות ש- L -1{ L { f (t)}}=f (t), אם פונקציות null אינן מותרות.
הטבלה הבאה מפרטת את טרנספורמציות Laplace של כמה מהפונקציות הנפוצות ביותר.
מהי התמרת פורייה?
בהינתן פונקציה f (t) של משתנה ממשי t, טרנספורמציה הלפליסית שלו מוגדרת על ידי האינטגרל [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (בכל פעם שהוא קיים), והוא מסומן בדרך כלל ב-F { f (ט)}. ההמרה ההפוכה F -1{ F (α)} ניתנת על ידי האינטגרל [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. טרנספורמציה פורייה היא גם ליניארית, וניתן לחשוב עליה כעל אופרטור המוגדר במרחב הפונקציות.
באמצעות טרנספורמציה פורייה, ניתן לכתוב את הפונקציה המקורית באופן הבא, בתנאי שלפונקציה יש רק מספר סופי של אי-רציפות והיא ניתנת לשילוב מוחלט.
מה ההבדל בין טרנספורמנס לפלס לפורייה?
- טרנספורמציה פורייה של פונקציה f (t) מוגדרת כ-[latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], בעוד שהטרנספורמציה של הלפלאס שלו מוגדרת כ-[latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- טרנספורמציה של פורייה מוגדרת רק עבור פונקציות המוגדרות עבור כל המספרים הממשיים, בעוד שהטרנספורמציה של Laplace אינה מחייבת את ההגדרה של הפונקציה על הגדרת המספרים הממשיים השליליים.
- טרנספורמציה של פורייה היא מקרה מיוחד של התמרת לפלס. ניתן לראות ששניהם חופפים למספרים ממשיים לא שליליים. (כלומר, קח את s ב-Laplace להיות iα + β כאשר α ו-β אמיתיים כך ש-e β=1/ √(2ᴫ))
- לכל פונקציה שיש לה טרנספורמציה פורייה תהיה טרנספורמציה של לפלס אבל לא להיפך.
