פונקציה דיסקרטית לעומת פונקציה רציפה
פונקציות הן אחת המחלקות החשובות ביותר של אובייקטים מתמטיים, שנמצאים בשימוש נרחב כמעט בכל תחומי המשנה של המתמטיקה. כפי ששמותיהם מרמזים הן פונקציות בדידות והן פונקציות רציפות הן שני סוגים מיוחדים של פונקציות.
פונקציה היא יחס בין שתי קבוצות המוגדרות באופן שלכל אלמנט בקבוצה הראשונה, הערך המתאים לו בקבוצה השנייה הוא ייחודי. תן f להיות פונקציה המוגדרת מקבוצה A לתוך קבוצה B. ואז עבור כל x ϵ A, הסמל f (x) מציין את הערך הייחודי בקבוצה B שמתאים ל-x.זה נקרא התמונה של x מתחת ל-f. לכן, יחס f מ-A ל-B הוא פונקציה, אם ורק אם עבור, כל xϵ A ו-y ϵ A; אם x=y אז f (x)=f (y). קבוצה A נקראת התחום של הפונקציה f, והיא הקבוצה שבה מוגדרת הפונקציה.
לדוגמה, שקול את היחס f מ-R ל-R המוגדר על ידי f (x)=x + 2 עבור כל xϵ A. זוהי פונקציה שהתחום שלה הוא R, שכן לכל מספר ממשי x ו-y, x=y מרמז על f (x)=x + 2=y + 2=f (y). אבל הקשר g מ-N ל-N המוגדר על ידי g (x)=a, כאשר 'a' הוא גורמים ראשוניים של x אינו פונקציה כמו g (6)=3, כמו גם g (6)=2.
מהי פונקציה בדידה?
פונקציה בדידה היא פונקציה שהתחום שלה ניתן לספירה לכל היותר. פשוט, זה אומר שאפשר לעשות רשימה הכוללת את כל האלמנטים של הדומיין.
כל קבוצה סופית ניתנת לספירה לכל היותר. קבוצת המספרים הטבעיים וקבוצת המספרים הרציונליים הם דוגמאות לכל היותר לקבוצות אינסופיות הניתנות לספירה.קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים האי-רציונליים אינם ניתנים לספירה לכל היותר. שני הסטים בלתי נספרים. זה אומר שאי אפשר ליצור רשימה שכוללת את כל המרכיבים של אותן קבוצות.
אחת הפונקציות הבדידות הנפוצות ביותר היא הפונקציה הפקטוריאלית. f:N U{0}→N מוגדר רקורסיבית על ידי f (n)=n f (n-1) עבור כל n ≥ 1 ו-f (0)=1 נקראת הפונקציה הפקטוריאלית. שים לב שהדומיין שלו N U{0} ניתן לספירה לכל היותר.
מהי פונקציה רציפה?
תנו ל-f להיות פונקציה כך שלכל k בתחום של f, f (x) → f (k) כ-x → k. אז f היא פונקציה רציפה. זה אומר שאפשר להפוך את f (x) לקרבה שרירותית ל-f (k) על ידי הפיכת x מספיק קרוב ל-k עבור כל k בתחום של f.
שקול את הפונקציה f (x)=x + 2 ב-R. ניתן לראות שכ-x → k, x + 2 → k + 2 כלומר f (x)→ f (k). לכן, f היא פונקציה רציפה. כעת, שקול את g על מספרים ממשיים חיוביים g (x)=1 אם x > 0 ו-g (x)=0 אם x=0.אם כן, פונקציה זו אינה פונקציה רציפה מכיוון שהגבול של g (x) אינו קיים (ולכן היא אינה שווה ל-g (0)) כ-x → 0.
מה ההבדל בין פונקציה בדיד ורציפה?
• פונקציה בדידה היא פונקציה שהתחום שלה ניתן לספירה לכל היותר, אבל זה לא חייב להיות המקרה בפונקציות רציפות.
• לכל הפונקציות הרציפות ƒ יש את המאפיין ש-ƒ(x)→ƒ(k) כ-x →k עבור כל x ולכל k בתחום של ƒ, אבל זה לא המקרה בחלק מהפונקציות הבדידות.
