Relation vs Function
מהמתמטיקה בתיכון ואילך, פונקציה הופכת למונח נפוץ. למרות שהוא משמש לעתים קרובות למדי, הוא משמש ללא הבנה נכונה של ההגדרה והפרשנויות שלו. מאמר זה מתמקד בתיאור היבטים אלה של פונקציה.
Relation
יחס הוא קישור בין האלמנטים של שתי קבוצות. בהגדרה רשמית יותר, ניתן לתאר אותו כתת-קבוצה של המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות X ו-Y. מכפלה קרטזית של X ו-Y, המסומנת כ-X×Y, היא קבוצה של זוגות מסודרים המורכבת מאלמנטים משתי הקבוצות., מסומן לעתים קרובות כ-(x, y). הסטים לא חייבים להיות שונים.לדוגמה, תת-קבוצה של אלמנטים מ-A×A, נקראת יחס על A.
פונקציה
פונקציות הן סוג מיוחד של יחסים. סוג מיוחד זה של יחס מתאר כיצד אלמנט אחד ממופה לאלמנט אחר בקבוצה אחרת או באותה קבוצה. כדי שהקשר יהיה פונקציה, יש לעמוד בשתי דרישות ספציפיות.
לכל רכיב של הסט שבו כל מיפוי מתחיל חייב להיות רכיב משויך/מקושר בקבוצה השנייה.
ניתן לשייך/לקשר את האלמנטים בקבוצה שבה מתחיל המיפוי רק לרכיב אחד ויחיד בקבוצה השנייה
הקבוצה שממנה ממופה היחס מכונה ה-Domain. הסט, שאליו ממופה היחס, ידוע כ-Codomain. תת-קבוצת האלמנטים ב-codomain המכילה רק את האלמנטים המקושרים לקשר ידועה בשם Range.
מבחינה טכנית, פונקציה היא יחס בין שתי קבוצות, כאשר כל אלמנט בקבוצה אחת ממופה באופן ייחודי לאלמנט בקבוצה השנייה.
שים לב לדברים הבאים
- כל רכיב בדומיין ממופה ל-codomain.
- כמה אלמנטים של הדומיין מחוברים לאותו ערך ב-codomain, אך לא ניתן לחבר אלמנט בודד מהדומיין ליותר מאלמנט אחד של ה-codomain. (המיפוי חייב להיות ייחודי)
- אם כל רכיב בודד של הדומיין ממופה לאלמנטים מובחנים וייחודיים ב-codomain, הפונקציה אמורה להיות פונקציה "אחד לאחד".
Codomain מכיל אלמנט אחר מאלה המחוברים לאלמנטים של הדומיין. הטווח לא חייב להיות ה-codomain. אם ה-codomain שווה לטווח, הפונקציה ידועה כפונקציית "onto"
כאשר הערכים שניתן לקחת על ידי הפונקציה הם אמיתיים, זה נקרא פונקציה אמיתית. המרכיבים של codomain ו-domain הם מספרים אמיתיים.
פונקציות מסומנות תמיד באמצעות משתנים. האלמנטים של ה-codomain מיוצגים באופן סמלי על ידי המשתנה. הסימון f(x) מייצג את מרכיבי הטווח. ניתן לייצג את היחס באמצעות הביטוי בצורה f(x)=x^2. זה אומר שהאלמנט של התחום ממופה לריבוע של האלמנט, בתוך ה-codomain.
מה ההבדל בין פונקציה ויחס?
• פונקציות הן סוג מיוחד של יחסים.
• הקשר מבוסס על התוצר הקרטזיאני של שתי קבוצות.
• הפונקציה מבוססת על קשרים עם מאפיינים ספציפיים.
• יש למפות את התחום של פונקציה לתוך ה-codomain כך שלכל אלמנט יש ערך תואם שנקבע באופן ייחודי ב-codomain. קשר יכול לקשר אלמנט בודד למספר ערכים.
