הבדל בין לוגריתמי ואקספוננציאלי

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 13:39

לוגריתמי לעומת אקספוננציאלי | פונקציה מעריכית לעומת פונקציה לוגריתמית

פונקציות הן אחת המחלקות החשובות ביותר של אובייקטים מתמטיים, שנמצאים בשימוש נרחב כמעט בכל תחומי המשנה של המתמטיקה. כפי ששמותיהם מרמזים הן פונקציה מעריכית והן פונקציה לוגריתמית הן שתי פונקציות מיוחדות.

פונקציה היא יחס בין שתי קבוצות המוגדרות באופן שלכל אלמנט בקבוצה הראשונה, הערך המתאים לו בקבוצה השנייה, הוא ייחודי. תן ƒ להיות פונקציה המוגדרת מקבוצה A לתוך קבוצה B. ואז עבור כל x ϵ A, הסמל ƒ(x) מציין את הערך הייחודי בקבוצה B שמתאים ל-x.זה נקרא התמונה של x מתחת ל-ƒ. לכן, יחס ƒ מ-A ל-B הוא פונקציה, אם ורק אם, עבור כל x ϵ A ו- y ϵ A, אם x=y אז ƒ(x)=ƒ(y). קבוצה A נקראת התחום של הפונקציה ƒ, והיא הקבוצה שבה מוגדרת הפונקציה.

מהי פונקציה מעריכית?

הפונקציה המעריכית היא הפונקציה הניתנת על ידי ƒ(x)=e^x, כאשר e=lim(1 + 1/n) (≈ 2.718…) והוא מספר אי-רציונלי טרנסצנדנטי. אחת ההתמחויות של הפונקציה היא שהנגזרת של הפונקציה שווה לעצמה; כלומר כאשר y=e^x, dy/dx=e^x כמו כן, הפונקציה היא פונקציה הולכת וגדלה בכל מקום עם ציר ה-x כאסימפטוטה. לכן, הפונקציה היא גם אחד לאחד. עבור כל x ϵ R, יש לנו את ה-e^x> 0, וניתן להראות שהוא נמצא על R ⁺ כמו כן, הוא עוקב אחר הזהות הבסיסית e^x+y=e^xe^y ו-e⁰ =1. ניתן לייצג את הפונקציה גם באמצעות הרחבת הסדרה הניתנת על ידי 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

מהי פונקציה לוגריתמית?

הפונקציה הלוגריתמית היא ההיפוך של הפונקציה המעריכית. מכיוון שהפונקציה המעריכית היא אחד לאחד ועל גבי R ⁺, ניתן להגדיר פונקציה g מקבוצת המספרים הממשיים החיוביים לתוך קבוצת המספרים הממשיים הניתנת על ידי g(y))=x, if ורק אם, y=e^x פונקציה זו g נקראת הפונקציה הלוגריתמית או בדרך כלל כלוגריתם הטבעי. הוא מסומן ב-g(x)=log e^{x=ln x. מכיוון שזה היפוך של הפונקציה האקספוננציאלית, אם ניקח את השתקפות הגרף של הפונקציה המעריכית על הישר y=x, אז יהיה לנו את הגרף של הפונקציה הלוגריתמית. לפיכך, הפונקציה היא אסימפטוטית לציר ה-y.}

פונקציה לוגריתמית פועלת לפי כמה כללים בסיסיים שמתוכם ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y ו-ln xy=y ln x הם החשובים ביותר. זו גם פונקציה הולכת וגוברת, והיא מתמשכת בכל מקום. לכן, זה גם אחד לאחד.ניתן להראות שהוא נמצא על R.

מה ההבדל בין פונקציה מעריכית לפונקציה לוגריתמית?

• הפונקציה המעריכית ניתנת על ידי ƒ(x)=e^{x, בעוד שהפונקציה הלוגריתמית ניתנת על ידי g(x)=ln x, והקודם הוא היפוך של ה- אחרון.}

• התחום של הפונקציה המעריכית הוא קבוצה של מספרים ממשיים, אבל התחום של הפונקציה הלוגריתמית הוא קבוצה של מספרים ממשיים חיוביים.

• הטווח של הפונקציה המעריכית הוא קבוצה של מספרים ממשיים חיוביים, אבל הטווח של הפונקציה הלוגריתמית הוא קבוצה של מספרים ממשיים.