דיפרנציאציה לעומת נגזרת
בחשבון דיפרנציאלי, נגזרת והבחנה קשורות קשר הדוק, אך שונות מאוד, ומשמשות לייצוג שני מושגים מתמטיים חשובים הקשורים לפונקציות.
מה זה נגזרת?
נגזרת של פונקציה מודדת את הקצב שבו ערך הפונקציה משתנה ככל שהקלט שלה משתנה. בפונקציות מרובות משתנים, השינוי בערך הפונקציה תלוי בכיוון השינוי של ערכי המשתנים הבלתי תלויים. לכן, במקרים כאלה, נבחר כיוון ספציפי והפונקציה מובחנת בכיוון המסוים הזה.הנגזרת הזו נקראת הנגזרת הכיוונית. נגזרות חלקיות הן סוג מיוחד של נגזרות כיווניות.
ניתן להגדיר נגזרת של פונקציה בעלת ערך וקטורי כגבול [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] בכל מקום בו הוא קיים באופן סופי. כאמור, זה נותן לנו את קצב הגידול של הפונקציה f בכיוון הווקטור u. במקרה של פונקציה בעלת ערך יחיד, זה מצטמצם להגדרה הידועה של הנגזרת, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
לדוגמה, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ניתן להבדיל בכל מקום, והנגזרת שווה לגבול, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], שהוא שווה ל-[latex]3x^{2}+4[/latex]. הנגזרות של פונקציות כגון [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] קיימות בכל מקום. הם שווים בהתאמה לפונקציות [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
זה ידוע בתור הנגזרת הראשונה. בדרך כלל הנגזרת הראשונה של הפונקציה f מסומנת ב-f (1) כעת באמצעות סימון זה, ניתן להגדיר נגזרות מסדר גבוה יותר. [לטקס]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] היא נגזרת הכיוון השני, ומציינת את n th נגזרת ב-f (n) עבור כל n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], מגדיר את n th הנגזרת.
מה זה בידול?
בידול הוא תהליך מציאת הנגזרת של פונקציה הניתנת להבדלה. D-operator המסומן ב-D מייצג בידול בהקשרים מסוימים. אם x הוא המשתנה הבלתי תלוי, אז D ≡ d/dx. האופרטור D הוא אופרטור ליניארי, כלומר עבור כל שתי פונקציות הניתנות להבדלה f ו-g וקבוע c, המאפיינים הבאים מתקיימים.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
באמצעות אופרטור D, ניתן לבטא את הכללים האחרים הקשורים להבדלה באופן הבא. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 and D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
לדוגמה, כאשר F(x)=x 2sin x מובחן ביחס ל-x באמצעות הכללים שניתנו, התשובה תהיה 2 x sin x + x2cos x.
מה ההבדל בין בידול לנגזרת?• נגזרת מתייחסת לקצב השינוי של פונקציה • בידול הוא תהליך מציאת הנגזרת של פונקציה. |
