הבדל בין אינטגרציה לסיכום

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 13:39

אינטגרציה לעומת סיכום

במתמטיקה של תיכון לעיל, אינטגרציה וסיכום נמצאים לעתים קרובות בפעולות מתמטיות. הם משמשים לכאורה ככלים שונים ובמצבים שונים, אבל הם חולקים מערכת יחסים קרובה מאוד.

עוד על Summation

סיכום היא פעולת הוספת רצף מספרים והפעולה מסומנת לעתים קרובות באות היוונית של סיגמא גדולה Σ. הוא משמש לקיצור הסיכום ושווה לסכום/סך הרצף. הם משמשים לעתים קרובות כדי לייצג את הסדרה, שבעצם הם רצפים אינסופיים המסוכמים.ניתן להשתמש בהם גם כדי לציין את הסכום של וקטורים, מטריצות או פולינומים.

הסיכום נעשה בדרך כלל עבור טווח של ערכים שיכול להיות מיוצג על ידי מונח כללי, כגון סדרה שיש לה מונח משותף. נקודת ההתחלה ונקודת הסיום של הסיכום ידועות כגבול התחתון והגבול העליון של הסיכום, בהתאמה.

לדוגמה, סכום הרצף a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n הוא ₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n שניתן לייצג בקלות באמצעות סימון הסיכום כ-∑ _i=1 a_{i; i נקרא אינדקס הסיכום.}

גרסאות רבות משמשות לסיכום המבוסס על היישום. במקרים מסוימים, ניתן לתת את הגבול העליון והתחתון כמרווח או כטווח, כגון ∑_1≤i≤100 a_i ו ∑_{i∈[1, 100]} a_i או שניתן לתת אותו כקבוצה של מספרים כמו ∑_i∈P a_{i, כאשר P הוא קבוצה מוגדרת.}

במקרים מסוימים, ניתן להשתמש בשני סימני סיגמא או יותר, אך ניתן להכליל אותם באופן הבא; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

כמו כן, הסיכום עוקב אחר כללים אלגבריים רבים. מכיוון שהפעולה המוטבעת היא התוספת, ניתן להחיל רבים מהכללים הנפוצים של האלגברה על הסכומים עצמם ועל המונחים הבודדים המתוארים על ידי הסיכום.

עוד על אינטגרציה

האינטגרציה מוגדרת כתהליך הפוך של בידול. אבל במבט הגיאומטרי שלו אפשר להתייחס אליו גם כשטח המוקף בעקומת הפונקציה והציר. לכן, חישוב השטח נותן את הערך של אינטגרל מוגדר כפי שמוצג בתרשים.

מקור תמונה:

ערך האינטגרל המוגדר הוא למעשה סכום הרצועות הקטנות בתוך העקומה והציר. השטח של כל רצועה הוא גובה × רוחב בנקודה על הציר הנחשב. רוחב הוא ערך שאנו יכולים לבחור, נניח ∆x. והגובה הוא בערך הערך של הפונקציה בנקודה הנחשבת, נניח f (x_{i). מהתרשים, ברור שככל שהרצועות קטנות יותר, הרצועות משתלבות בתוך האזור התחום, ומכאן קירוב טוב יותר של הערך.}

לכן, באופן כללי ניתן לתת את האינטגרל המוגדר I, בין הנקודות a ו-b (כלומר במרווח [a, b] שבו a<b), בתור I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, כאשר n הוא מספר הרצועות (n=(b-a)/∆x). סיכום זה של השטח יכול להיות מיוצג בקלות באמצעות סימון הסיכום כמו I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x.מכיוון שהקירוב טוב יותר כאשר ∆x קטן יותר, נוכל לחשב את הערך כאשר ∆x→0. לכן, סביר לומר I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

כהכללה מהמושג לעיל, נוכל לבחור את ה-∆x על סמך המרווח הנחשב באינדקס של i (בחירת רוחב השטח על סמך המיקום). אז נקבל

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

זה ידוע בתור אינטגרל ריימן של הפונקציה f (x) במרווח [a, b]. במקרה זה a ו-b ידועים כגבול העליון והתחתון של האינטגרל. אינטגרל ריימן הוא צורה בסיסית של כל שיטות האינטגרציה.

במהות, אינטגרציה היא סיכום השטח כאשר רוחב המלבן הוא אינסופי.

מה ההבדל בין אינטגרציה לסיכום?

• סיכום הוא חיבור של רצף של מספרים. בדרך כלל, הסיכום ניתן בצורה זו ∑_i=1 a_{i כאשר המונחים ברצף יש דפוס וניתן לבטא אותו באמצעות מונח כללי.}

• אינטגרציה היא בעצם השטח התחום על ידי עקומת הפונקציה, הציר והגבול העליון והתחתון. ניתן לתת את השטח הזה כסכום של שטחים קטנים בהרבה הכלולים בשטח התחום.

• סיכום כולל את הערכים הבדידים עם הגבול העליון והתחתון, בעוד שהשילוב כולל ערכים מתמשכים.

• ניתן לפרש אינטגרציה כצורה מיוחדת של סיכום.

• בשיטות חישוב מספריות, האינטגרציה מתבצעת תמיד כסיכום.