משוואות דיפרנציאליות לינאריות לעומת לא-לינאריות
משוואה המכילה לפחות מקדם דיפרנציאלי אחד או נגזרת של משתנה לא ידוע ידועה כמשוואה דיפרנציאלית. משוואת דיפרנציאלית יכולה להיות ליניארית או לא ליניארית. היקף מאמר זה הוא להסביר מהי משוואה דיפרנציאלית לינארית, מהי משוואה דיפרנציאלית לא לינארית ומה ההבדל בין משוואות דיפרנציאליות לינאריות ולא לינאריות.
מאז התפתחות החשבון במאה ה-18 על ידי מתמטיקאים כמו ניוטון ולייבניץ, למשוואה דיפרנציאלית יש תפקיד חשוב בסיפור המתמטיקה.למשוואות דיפרנציאליות יש חשיבות רבה במתמטיקה בגלל מגוון היישומים שלהן. משוואות דיפרנציאליות נמצאות בלב כל מודל שאנו מפתחים כדי להסביר כל תרחיש או אירוע בעולם בין אם זה בפיזיקה, הנדסה, כימיה, סטטיסטיקה, ניתוח פיננסי או ביולוגיה (הרשימה אינסופית). למעשה, עד שהחשבון הפך לתיאוריה מבוססת, לא היו כלים מתמטיים מתאימים לניתוח הבעיות המעניינות בטבע.
המשוואות המתקבלות מיישום ספציפי של חשבון עשויות להיות מורכבות מאוד ולפעמים לא ניתנות לפתרון. עם זאת, ישנם כאלה שאנו יכולים לפתור, אך עשויים להיראות דומים ומבלבלים. לכן, לצורך זיהוי קל יותר, משוואות דיפרנציאליות מסווגות לפי ההתנהגות המתמטית שלהן. ליניארי ולא ליניארי הוא סיווג כזה. חשוב לזהות את ההבדל בין משוואות דיפרנציאליות לינאריות ולא ליניאריות.
מהי משוואה דיפרנציאלית לינארית?
נניח ש-f: X→Y ו-f(x)=y, משוואת דיפרנציאלית ללא איברים לא ליניאריים של הפונקציה הבלתי ידועה y ונגזרותיה ידועה כמשוואת דיפרנציאלית לינארית.
זה מציב את התנאי ש-y לא יכול לקבל מונחי אינדקס גבוהים יותר כגון y2, y3, … וכפולות של נגזרים כגון כ
זה גם לא יכול להכיל מונחים לא ליניאריים כגון Sin y, e y ^-2, או ln y. זה לוקח את הטופס,
כאשר y ו-g הם פונקציות של x. המשוואה היא משוואה דיפרנציאלית בסדר n, שהיא המדד של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר.
במשוואה דיפרנציאלית לינארית, האופרטור הדיפרנציאלי הוא אופרטור ליניארי והפתרונות יוצרים מרחב וקטורי. כתוצאה מהאופי הליניארי של קבוצת הפתרונות, שילוב ליניארי של הפתרונות הוא גם פתרון למשוואה הדיפרנציאלית. כלומר, אם y1 ו-y2 הם פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית, אז C1 y 1+ C2 y2 הוא גם פתרון.
הלינאריות של המשוואה היא רק פרמטר אחד של הסיווג, וניתן לסווג אותה עוד יותר למשוואות הומוגניות או לא-הומוגניות ולמשוואות דיפרנציאליות רגילות או חלקיות.אם הפונקציה היא g=0 אז המשוואה היא משוואה דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית. אם f היא פונקציה של שני משתנים בלתי תלויים או יותר (f: X, T→Y) ו-f(x, t)=y, אז המשוואה היא משוואה דיפרנציאלית חלקית ליניארית.
שיטת הפתרון למשוואת הדיפרנציאלית תלויה בסוג ובמקדמים של המשוואה הדיפרנציאלית. המקרה הקל ביותר מתעורר כאשר המקדמים קבועים. דוגמה קלאסית למקרה זה היא חוק התנועה השני של ניוטון ויישומיו השונים. החוק השני של ניוטון מייצר משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר שני עם מקדמים קבועים.
מהי משוואה דיפרנציאלית לא לינארית?
משוואות המכילות מונחים לא ליניאריים ידועות בתור משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות.
כל למעלה הם משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות. קשה לפתור משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות, ולכן נדרש מחקר מקרוב כדי להשיג פתרון נכון. במקרה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, לרוב המשוואות אין פתרון כללי. לכן, יש להתייחס לכל משוואה באופן עצמאי.
משוואת Navier-Stokes ומשוואת אוילר בדינמיקת נוזלים, משוואות השדה של איינשטיין בתורת היחסות הכללית הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-לינאריות ידועות. לפעמים היישום של משוואת לגראנז' על מערכת משתנה עשוי לגרום למערכת של משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא ליניאריות.
מה ההבדל בין משוואות דיפרנציאליות לינאריות ולא-לינאריות?
• משוואת דיפרנציאלית, שיש בה רק את האיברים הליניאריים של המשתנה הלא ידוע או התלוי ונגזרותיו, ידועה כמשוואה דיפרנציאלית לינארית. אין לו מונח עם המשתנה התלוי של המדד גבוה מ-1 ואינו מכיל כפולה של הנגזרות שלו. לא יכול להיות לו פונקציות לא ליניאריות כמו פונקציות טריגונומטריות, פונקציה מעריכית ופונקציות לוגריתמיות ביחס למשתנה התלוי. כל משוואה דיפרנציאלית המכילה מונחים שהוזכרו לעיל היא משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית.
• פתרונות של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות יוצרים מרחב וקטורי והאופרטור ההפרש הוא גם אופרטור ליניארי במרחב הווקטור.
• פתרונות של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות הם קלים יחסית וקיימים פתרונות כלליים. עבור משוואות לא ליניאריות, ברוב המקרים, הפתרון הכללי אינו קיים והפתרון עשוי להיות ספציפי לבעיה. זה הופך את הפתרון לקשה הרבה יותר מהמשוואות הליניאריות.
