ההבדל העיקרי בין מכניקה לגרנגיאנית למילטון היא שמכניקה לגרנגיאנית מתארת את ההבדל בין אנרגיות קינטיות ופוטנציאליות, ואילו מכניקה המילטון מתארת את סכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות.
מכניקה לגראנגיאנית ומכאניקה המילטון הם מושגים חשובים בכימיה פיזיקלית הנכללים תחת המכניקה הקלאסית. המכניקה הלגרנגית פותחה על ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'וזף לואיס לגראנז' בשנת 1788, בעוד שהמכניקה המילטון פותחה על ידי ויליאם רואן המילטון בשנת 1833.
מהי מכניקה לגראנז'ה?
ניתן להגדיר את המכניקה של לגראנג' כניסוח מחדש של המכניקה הקלאסית שהוצג על ידי המתמטיקאי האיטלקי בשם ג'וזף-לואי לגראנז' ב-1788.בתפיסה כימית זו, המסלול של מערכת פיזיקלית המכילה חלקיקים נגזר באמצעות פתרון משוואות הלגרנז' באחת משתי צורות: משוואות הלגרנז' מהסוג הראשון ומשוואות הלגרנז' מהסוג השני.
הסוג הראשון של משוואות לגראנז' מתייחס לאילוצים במפורש כמשוואות נוספות באמצעות מכפילי לגראנז', בעוד שהסוג השני של משוואות לגראנז' משלבת את האילוצים ישירות דרך בחירה נבונה של קואורדינטות מוכללות. עם זאת, בכל אחד משני הסוגים הללו, פונקציה מתמטית בשם לגרנגיאנית מכונה פונקציה של הקואורדינטות המוכללות, נגזרות הזמן והזמן שלהן. יתרה מכך, מושג זה מכיל מידע על הדינמיקה של המערכת.
איור 01: Joseph-Louis Lagrange
מכניקה לגרנגיאנית היא מושג כימי מתוחכם ושיטתי יותר מבחינה מתמטית. לא הוצגו בהכרח מושגי פיזיקה חדשים ליישום מכניקה לגראנגית בהשוואה למכניקה ניוטונית. עם זאת, מכניקה לגראנגית שימושית מאוד בפתרון בעיות מכניות בפיזיקה כאשר הניסוחים של ניוטון למכניקה הקלאסית אינם נוחים.
מהי מכניקה המילטון?
מכניקה ההמילטונית היא ניסוח מתוחכם מבחינה מתמטית של מכניקה קלאסית. מושג כימי זה תורם לניסוח של מכניקה סטטיסטית ומכניקת קוונטים. מושג זה פותח על ידי ויליאם רואן המילטון בשנת 1833. הוא פיתח אותו על ידי תחילתו של מכניקה לגרנג'יאנית. יתר על כן, המכניקה ההמילטונית מקבילה לחוקי התנועה של ניוטון במגבלות המכניקה הקלאסית.
איור 02: Sir William Hamilton
במכניקה המילטון, אנו יכולים להשתמש בקבוצה של קואורדינטות קנוניות בתיאור המערכות הפיזיקליות הקלאסיות: r=(q, p). כל אחת מהקואורדינטות של רכיבים אלה qi, pi מתווספת לאינדקס למסגרת הייחוס של אותה מערכת פיזית. רכיבי הקואורדינטות qi נקראים כקואורדינטות מוכללות, בעוד ש-pi נקרא כמומנטה המצומדת שלהם.
מה ההבדל בין מכניקת לגרנג'י למילטון?
מכניקה לגראנגיאנית ומכאניקה המילטון הם מושגים חשובים בכימיה פיזיקלית הנכללים תחת המכניקה הקלאסית. המכניקה הלגרנגית פותחה על ידי המתמטיקאי האיטלקי בשם ג'וזף-לואי לגראנז' בשנת 1788, בעוד שהמכניקה המילטון פותחה על ידי ויליאם רואן המילטון בשנת 1833. ההבדל העיקרי בין המכניקה הלגרנגית והמילטון היא שהמכניקה הלגרנגית מתארת את ההבדל בין אנרגיות קינטיות ופוטנציאליות, בעוד מכניקת המילטון מתארת את סכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות.יתר על כן, המכניקה של לגראנז'ה משתמשת בקואורדינטות קרטזיות בחישובים, בעוד שהמכניקה המילטון משתמשת בקואורדינטות קנוניות.
להלן תקציר ההבדל בין מכניקה לגראנגית למילטון בצורת טבלאות.
סיכום – מכניקה לגראנג'יאן נגד המילטון
ניתן להגדיר את המכניקה לגראנגית כניסוח מחדש של המכניקה הקלאסית. מכניקה המילטון היא ניסוח מתוחכם מבחינה מתמטית של מכניקה קלאסית. ההבדל העיקרי בין מכניקה לגרנגיאנית למילטון היא שמכניקה לגרנגיאנית מתארת את ההבדל בין אנרגיות קינטיות ופוטנציאליות, ואילו מכניקה המילטון מתארת את סכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות.
