אירועים בלעדי הדדי לעומת אירועים עצמאיים
אנשים מבלבלים לעתים קרובות בין המושג של אירועים סותרים זה את זה עם אירועים עצמאיים. למעשה, אלו שני דברים שונים.
תנו ל-A ו-B להיות כל שני אירועים הקשורים לניסוי אקראי E. P(A) נקרא "ההסתברות של A". באופן דומה, אנו יכולים להגדיר הסתברות של B כ-P(B), הסתברות של A או B כ-P(A∪B), והסתברות של A ו-B כ-P(A∩B). לאחר מכן, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
עם זאת, שני אירועים אמרו שהם סותרים זה את זה אם התרחשות של אירוע אחד לא משפיעה על השני. במילים אחרות, הם לא יכולים להתרחש בו זמנית. לכן, אם שני אירועים A ו-B סותרים זה את זה אז A∩B=∅ ומכאן, זה מרמז על P(A∪B)=P(A)+ P(B).
תנו ל-A ו-B להיות שני אירועים במרחב מדגם S. הסתברות מותנית של A, בהינתן ש-B התרחש, מסומנת ב-P(A | B) ומוגדרת כ; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), מסופק P(B)>0. (אחרת, זה לא מוגדר.)
אומרים שאירוע A אינו תלוי באירוע B, אם ההסתברות ש-A מתרחש אינה מושפעת מהאם B התרחש או לא. במילים אחרות, לתוצאה של אירוע ב' אין השפעה על התוצאה של אירוע א'. לכן, P(A | B)=P(A). באופן דומה, B אינו תלוי ב-A אם P(B)=P(B | A). מכאן, אנו יכולים להסיק שאם A ו-B הם אירועים בלתי תלויים, אז P(A∩B)=P(A). P(B)
נניח שמגלגלים קובייה ממוספרת ומופכים מטבע הוגן. תן ל-A להיות האירוע שהשגת ראש ו-B להיות האירוע שמגלגל מספר זוגי. אז נוכל להסיק שאירועים A ו-B הם בלתי תלויים, כי התוצאה של אחד לא משפיעה על התוצאה של השני. לכן, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. מכיוון ש-P(A∩B)≠0, A ו-B אינם יכולים להיות סותרים זה את זה.
נניח שכד מכיל 7 גולות לבנות ו-8 גולות שחורות. הגדירו אירוע א' כשרטוט גולה לבנה ואירוע ב' כשרטוט גולה שחורה. בהנחה שכל גולה תוחלף לאחר ציון הצבע שלה, אז P(A) ו-P(B) תמיד יהיו זהים, לא משנה כמה פעמים נשאב מהכד. החלפת הגולות פירושה שההסתברויות לא משתנות מציור לציור, לא משנה באיזה צבע בחרנו בהגרלה האחרונה. לכן, אירוע A ו-B הם בלתי תלויים.
עם זאת, אם גולות צוירו ללא החלפה, אז הכל משתנה. לפי הנחה זו, האירועים A ו-B אינם בלתי תלויים. ציור של גולה לבנה בפעם הראשונה משנה את ההסתברויות לציור גולה שחורה בציור השני וכן הלאה. במילים אחרות, לכל תיקו יש השפעה על ההגרלה הבאה, ולכן ההגרלות האישיות אינן עצמאיות.
הבדל בין אירועים בלעדיים הדדיים לאירועים עצמאיים
– בלעדיות הדדית של אירועים פירושה שאין חפיפה בין הקבוצות A ו-B. עצמאות של אירועים פירושה שקורה של A לא משפיעה על התרחשות B.
– אם שני אירועים A ו-B סותרים זה את זה, אז P(A∩B)=0.
– אם שני אירועים A ו-B בלתי תלויים, אז P(A∩B)=P(A). P(B)
