אירועים תלויים לעומת עצמאיים
בחיי היום-יום שלנו, אנו נתקלים באירועים עם אי ודאות. לדוגמה, סיכוי לזכות בלוטו שאתה קונה או סיכוי לקבל את המשרה שהגשת מועמדות. תורת ההסתברות הבסיסית משמשת כדי לקבוע מתמטית את הסיכוי שיקרה משהו. הסתברות תמיד קשורה לניסויים אקראיים. אומרים שניסוי עם מספר תוצאות אפשריות הוא ניסוי אקראי, אם לא ניתן לחזות מראש את התוצאה בכל ניסוי בודד. אירועים תלויים ובלתי תלויים הם מונחים המשמשים בתורת ההסתברות.
אומרים שאירוע B אינו תלוי באירוע A, אם ההסתברות ש-B מתרחש אינה מושפעת מהאם A התרחש או לא.פשוט, שני אירועים הם בלתי תלויים אם התוצאה של אחד לא משפיעה על ההסתברות להתרחשות של האירוע השני. במילים אחרות, B אינו תלוי ב-A, אם P(B)=P(B|A). באופן דומה, A אינו תלוי ב-B, אם P(A)=P(A|B). כאן, P(A|B) מציין את ההסתברות המותנית A, בהנחה ש-B התרחש. אם נשקול הטלת שתי קוביות, למספר המופיע בקובייה אחת אין השפעה על מה שעלה בקובייה השנייה.
לכל שני אירועים A ו-B במרחב לדוגמה S; ההסתברות המותנית של A, בהינתן ש-B התרחש היא P(A|B)=P(A∩B)/P(B). כך שאם אירוע A אינו תלוי באירוע B, אז P(A)=P(A|B) מרמז ש-P(A∩B)=P(A) x P(B). באופן דומה, אם P(B)=P(B|A), אז P(A∩B)=P(A) x P(B) מתקיים. מכאן, אנו יכולים להסיק ששני האירועים A ו-B אינם תלויים, אם ורק אם מתקיים תנאי P(A∩B)=P(A) x P(B).
בוא נניח שאנחנו מטילים קובייה וזורקים מטבע בו-זמנית. אז קבוצת כל התוצאות האפשריות או מרחב המדגם הוא S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T) }.תן לאירוע A להיות האירוע של קבלת ראשים, אז ההסתברות לאירוע A, P(A) היא 6/12 או 1/2, ותן B להיות האירוע של קבלת כפולה של שלוש על הקוביה. ואז P(B)=4/12=1/3. לכל אחד משני האירועים הללו אין השפעה על התרחשות האירוע השני. לפיכך, שני אירועים אלו הם בלתי תלויים. מכיוון שהקבוצה (A∩B)={(3, H), (6, H)}, ההסתברות שאירוע יקבל ראשים וכפולה של שלושה בקובייה, כלומר P(A∩B) היא 2/12 או 1/6. הכפל, P (A) x P(B) שווה גם הוא ל-1/6. מכיוון ששני האירועים A ו-B מחזיקים בתנאי, אנו יכולים לומר ש-A ו-B הם אירועים עצמאיים.
אם התוצאה של אירוע מושפעת מהתוצאה של האירוע האחר, אומרים שהאירוע תלוי.
נניח שיש לנו שקית שמכילה 3 כדורים אדומים, 2 כדורים לבנים ו-2 כדורים ירוקים. ההסתברות לצייר כדור לבן באופן אקראי הוא 2/7. מה ההסתברות לצייר כדור ירוק? האם זה 2/7?
אם היינו מושכים את הכדור השני לאחר החלפת הכדור הראשון, ההסתברות הזו תהיה 2/7.עם זאת, אם לא נחליף את הכדור הראשון שהוצאנו, אז יש לנו רק שישה כדורים בשקית, כך שההסתברות לשלוף כדור ירוק כעת היא 2/6 או 1/3. לכן, האירוע השני תלוי, מכיוון שלאירוע הראשון יש השפעה על האירוע השני.
מה ההבדל בין אירוע תלוי לאירוע עצמאי?
