אורתוגונלי לעומת אורתונורמלי
במתמטיקה, שתי המילים אורתוגונלי ואורתונורמלי משמשות לעתים קרובות יחד עם קבוצה של וקטורים. כאן, המונח 'וקטור' משמש במובן שהוא אלמנט של מרחב וקטור - מבנה אלגברי המשמש באלגברה לינארית. לדיון שלנו, נשקול מרחב תוצר פנימי - מרחב וקטור V יחד עם מכפל פנימי המוגדר ב-V.
כדוגמה, עבור מוצר פנימי, החלל הוא קבוצת כל וקטורי המיקום התלת-מימדיים יחד עם מוצר הנקודות הרגיל.
מה זה אורתוגונלי?
תת-קבוצה לא ריקה S של מרחב מכפלה פנימי V אמורה להיות אורתוגונלית, אם ורק אם עבור כל u נפרד, v ב-S, [u, v]=0; כלומר המכפלה הפנימית של u ו-v שווה לסקלר האפס במרחב המכפלה הפנימי.
לדוגמה, בקבוצה של כל וקטורי המיקום התלת-ממדיים, זה שווה ערך לאמירה שלכל זוג מובחן של וקטורי מיקום p ו-q ב-S, p ו-q מאונכים זה לזה. (זכור שהמכפלה הפנימית במרחב וקטור זה הוא מכפלת הנקודה. כמו כן, מכפלת הנקודה של שני וקטורים שווה ל-0 אם ורק אם שני הוקטורים מאונכים זה לזה.)
שקול את קבוצת S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, שהיא תת-קבוצה של וקטורי המיקום התלת-ממדיים. שים לב ש-(0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. מכאן שהקבוצה S היא אורתוגונלית. בפרט, שני וקטורים אומרים שהם אורתוגונליים אם המכפלה הפנימית שלהם היא 0. לכן, כל זוג וקטורים ב-Sis אורתוגונלי.
מה זה אורתונורמלי?
תת-קבוצה לא ריקה S של מרחב מכפלה פנימי V אמורה להיות אורתונורמלית אם ורק אם S הוא אורתוגונלי ולכל וקטור u ב-S, [u, u]=1. לכן, ניתן לראות כי כל סט אורתונורמלי הוא אורתוגונלי אבל לא להיפך.
לדוגמה, בקבוצה של כל וקטורי המיקום התלת-ממדיים, זה שווה ערך לאמירה שלכל זוג מובחן של וקטורי מיקום p ו-q ב-S, p ו-q מאונכים זה לזה, ועבור כל p ב-S, |p|=1. הסיבה לכך היא שהתנאי [p, p]=1 מצטמצם ל-p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, שהוא שווה ערך ל-|p |=1. לכן, בהינתן קבוצה אורתוגונלית נוכל תמיד ליצור קבוצה אורתונורמלית מתאימה על ידי חלוקת כל וקטור בגודלו.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} היא תת-קבוצה אורתונורמלית של קבוצת כל וקטורי המיקום התלת-ממדיים. קל לראות שהוא הושג על ידי חלוקת כל אחד מהווקטורים בקבוצה S, בגדלים שלהם.
מה ההבדל בין אורתוגונלי לאורתונורמלי?
- תת-קבוצה לא ריקה S של מרחב מכפלה פנימי V אמורה להיות אורתוגונלית, אם ורק אם עבור כל u נפרד, v ב-S, [u, v]=0. עם זאת, הוא אורתונורמלי, אם ו- רק אם מתקיים תנאי נוסף - עבור כל וקטור u ב-S, [u, u]=1 מתקיים.
- כל סט אורתונורמלי הוא אורתוגונלי אך לא להיפך.
- כל קבוצה אורתוגונלית מתאימה לקבוצה אורתוגונלית ייחודית, אך קבוצה אורתוגונלית עשויה להתאים לקבוצות אורתוגונליות רבות.
