אסוציאטיבי לעומת קומוטטיבי
בחיי היום-יום שלנו, אנחנו צריכים להשתמש במספרים בכל פעם שאנחנו צריכים לקבל מידה של משהו. במכולת, בתחנת הדלק ואפילו במטבח צריך להוסיף, להחסיר ולהכפיל שתי כמויות או יותר. מהתרגול שלנו, אנו מבצעים את החישובים הללו די ללא מאמץ. אנחנו אף פעם לא שמים לב או מטילים ספק למה אנחנו עושים את הפעולות האלה בצורה הספציפית הזו. או מדוע לא ניתן לבצע את החישובים האלה בדרך אחרת. התשובה חבויה באופן שבו פעולות אלו מוגדרות בתחום המתמטי של האלגברה.
באלגברה, פעולה הכוללת שתי כמויות (כגון חיבור) מוגדרת כפעולה בינארית.ליתר דיוק מדובר בפעולה בין שני אלמנטים מקבוצה ואלמנטים אלו נקראים 'אופרנד'. ניתן להגדיר פעולות רבות במתמטיקה, כולל פעולות אריתמטיות שהוזכרו קודם לכן ואלה שנתקלו בתורת הקבוצות, באלגברה לינארית ולוגיקה מתמטית כפעולות בינאריות.
יש קבוצה של כללים שולטים הנוגעים לפעולה בינארית ספציפית. המאפיינים האסוציאטיביים והקומוטטיביים הם שני מאפיינים בסיסיים של הפעולות הבינאריות.
עוד על נכס קומוטטיבי
נניח שמבצעים פעולה בינארית כלשהי, המסומנת בסמל ⊗, על האלמנטים A ו-B. אם סדר האופרנדים אינו משפיע על תוצאת הפעולה, אזי אומרים שהפעולה היא קומוטטיבית. כלומר אם A ⊗ B=B ⊗ A אז הפעולה היא קומוטטיבית.
הפעולות האריתמטיות חיבור וכפל הן קומוטטיביות. סדר המספרים המצורפים או מוכפלים יחד אינו משפיע על התשובה הסופית:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
אבל במקרה של חלוקה שינוי הסדר נותן את ההדדיות של האחר, ובחיסור השינוי נותן את השלילי של האחר. לכן, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 ו-5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 ו-5 ÷ 4=1.25 [במקרה זה A, B ≠ 1 ו-0]
למעשה, אומרים שהחיסור הוא אנטי-קומוטטיבי; כאשר A – B=– (B – A).
כמו כן, החיבורים הלוגיים, הצירוף, הניתוק, ההשלכה והשקילות, הם גם הם קומוטטיביים. פונקציות אמת הן גם קומוטטיביות. איחוד המבצעים והצומת שנקבעו הם קומוטטיביים. החיבור והמכפלה הסקלרית של הוקטורים הם גם קומוטטיביים.
אבל החיסור הוקטור והמכפלה הווקטורית אינם קומוטטיביים (מכפלה וקטורית של שני וקטורים היא אנטי-קומוטטיבית). חיבור המטריצה הוא קומוטטיבי, אבל הכפל והחיסור אינם קומוטטיביים.(כפל של שתי מטריצות יכול להיות קומוטטיבי במקרים מיוחדים, כגון הכפלה של מטריצה עם היפוך שלה או מטריצת הזהות; אבל בהחלט מטריצות אינן קומוטטיביות אם המטריצות אינן בגודל זהה)
עוד על נכס אסוציאטיבי
פעולה בינארית אמורה להיות אסוציאטיבית אם סדר הביצוע אינו משפיע על התוצאה כאשר קיימות שתי מופעים או יותר של האופרטור. קחו בחשבון את האלמנטים A, B ו-C ואת הפעולה הבינארית ⊗. אומרים שהפעולה ⊗ היא אסוציאטיבית אם
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
מהפונקציות האריתמטיות הבסיסיות, רק החיבור והכפל הם אסוציאטיביים.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
החיסור והחילוק אינם אסוציאטיביים;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 ו-(5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 ו-(5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
החיבורים הלוגיים ניתוק, צירוף ושקילות הם אסוציאטיביים, כמו גם האיחוד והצומת של פעולות הסט. המטריצה והתוספת הווקטורית הם אסוציאטיביים. המכפלה הסקלרית של וקטורים היא אסוציאטיבית, אך המכפלה הווקטורית לא. כפל מטריצה הוא אסוציאטיבי רק בנסיבות מיוחדות.
מה ההבדל בין נכס קומוטטיבי לנכס אסוציאטיבי?
• גם התכונה האסוציאטיבית וגם התכונה הקומוטטיבית הם מאפיינים מיוחדים של הפעולות הבינאריות, וחלקן עומדות בהן וחלקן לא.
• ניתן לראות מאפיינים אלה בצורות רבות של פעולות אלגבריות ופעולות בינאריות אחרות במתמטיקה, כגון הצומת והאיחוד בתורת הקבוצות או החיבורים הלוגיים.
• ההבדל בין קומוטטיבי לאסוציאטיבי הוא שתכונה קומוטטיבית קובעת שסדר האלמנטים לא משנה את התוצאה הסופית ואילו תכונה אסוציאטיבית קובעת, שהסדר שבו מתבצעת הפעולה, אינו משפיע על התשובה הסופית.
