הבדל בין Power Series ל-Taylor Series

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 13:39

Power Series vs Taylor Series

במתמטיקה, רצף אמיתי הוא רשימה מסודרת של מספרים ממשיים. פורמלית, זוהי פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת המספרים הממשיים. אם _n הוא האיבר n^th של רצף, נסמן את הרצף ב-₁, a ₂, …, a_n, ….לדוגמה, שקול את הרצף 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. ניתן לסמן אותו כ-{1/n}.}

אפשר להגדיר סדרה באמצעות רצפים. סדרה היא סכום האיברים של רצף. לכן, לכל רצף, יש רצף משויך ולהיפך.אם {a_{n} הוא הרצף הנדון, אזי, ניתן לייצג את הסדרה שנוצרה על ידי רצף זה כ:}

לכן, בדוגמה שלמעלה, הסדרה המשויכת היא 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

כפי שהשמות מרמזים, סדרת הכוח היא סוג מיוחד של סדרה והיא נמצאת בשימוש נרחב בניתוח נומרי ובמודלים מתמטיים קשורים. סדרת טיילור היא סדרת כוח מיוחדת המספקת דרך אלטרנטיבית וקלה לתפעול לייצוג פונקציות ידועות.

מהי סדרת Power?

סדרת כוח היא סדרה של הצורה

שהוא מתכנס (אולי) עבור מרווח כלשהו שמרכזו ב-c. המקדמים a_{nיכולים להיות מספרים ממשיים או מרוכבים, ואינם תלויים ב-x; כלומר משתנה הדמה.}

לדוגמה, על ידי הגדרת a_n=1 עבור כל n, ו-c=0, סדרת החזקה 1+x+x² +…..+ מתקבל x^{+…. קל להבחין שכאשר x ε (-1, 1), סדרת החזקה הזו מתכנסת ל-1/(1-x).}

סדרת חזקות מתכנסת כאשר x=c. שאר הערכים של x שעבורם מתכנסת סדרת החזקות יתכנסו תמיד בצורה של מרווח פתוח שמרכזו ב-c. כלומר, יהיה ערך 0≤ R ≤ ∞ כך שלכל x שמספק |x-c|≤ R, סדרת החזקה מתכנסת ולכל x שמספק |x-c|> R, סדרת החזקה מתפצלת. ערך זה R נקרא רדיוס התכנסות של סדרת החזקה (R יכול לקחת כל ערך ממשי או אינסוף חיובי).

ניתן להוסיף, לגרוע, להכפיל ולחלק סדרות כוח באמצעות הכללים הבאים. שקול את שתי סדרות העוצמה:

אז,

כלומר. מונחים דומים מתווספים או מופחתים יחד. כמו כן, ניתן להכפיל ולחלק את שתי סדרות החזקה באמצעות הזהות,

מהי סדרת טיילור?

סדרת טיילור מוגדרת עבור פונקציה f (x) הניתנת להבדלה אינסופית במרווח. נניח ש-f (x) ניתן להבדיל על מרווח שמרכזו ב-c. ואז סדרת העוצמה שניתנת על ידי

נקראת הרחבת סדרת טיילור של הפונקציה f (x) על c. (כאן f⁽ⁿ⁾ (c) מציין את n^{th הנגזרת ב-x=c). בניתוח נומרי, מספר סופי של איברים בהרחבה אינסופית זו משמשים בחישוב ערכים בנקודות שבהן הסדרה מתכנסת לפונקציה המקורית.}

אומרים כי פונקציה f (x) היא אנליטית במרווח (a, b), אם עבור כל x ε (a, b), סדרת טיילור של f (x) מתכנסת לפונקציה f (איקס). לדוגמה, 1/(1-x) הוא אנליטי ב-(-1, 1), מכיוון שהרחבת טיילור שלו 1+x+x²+….+ x ^{+… מתכנס לפונקציה במרווח הזה, ו-e}x ^{הוא אנליטי בכל מקום, מכיוון שסדרת טיילור של e}x ^{מתכנסת ל-e} x ^{עבור כל מספר אמיתי x.}

מה ההבדל בין סדרות Power לסדרות טיילור?

1. סדרת טיילור היא מחלקה מיוחדת של סדרות חזקות המוגדרות רק עבור פונקציות הניתנות להבדלה אינסופית במרווח פתוח כלשהו.

2. סדרת טיילור לובשת את הצורה המיוחדת

בעוד שסדרת עוצמה יכולה להיות כל סדרה של הצורה