הבדל בין סדרות אריתמטיות לגיאומטריות

2024 מְחַבֵּר: Alex Aldridge | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 13:39

סדרה אריתמטית לעומת גיאומטרית

ההגדרה המתמטית של סדרה קשורה קשר הדוק לרצפים. רצף הוא קבוצה מסודרת של מספרים ויכול להיות קבוצה סופית או אינסופית. רצף של מספרים שההבדל בין שני אלמנטים הוא קבוע ידוע בתור התקדמות אריתמטית. רצף עם מנה קבועה של שני מספרים עוקבים מכונה התקדמות גיאומטרית. התקדמות אלו יכולות להיות סופיות או אינסופיות, ואם סופיות, מספר האיברים ניתן לספירה, אחרת לא ניתן לספור.

באופן כללי, ניתן להגדיר את סכום האלמנטים בהתקדמות כסדרה. הסכום של התקדמות אריתמטית ידוע בתור סדרה אריתמטית. באופן דומה, הסכום של התקדמות גיאומטרית ידוע בתור סדרה גיאומטרית.

עוד על סדרות אריתמטיקה

בסדרה אריתמטית, למונחים העוקבים יש הבדל קבוע.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; כאשר a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d, וכן הלאה.}

הבדל זה ד ידוע בתור ההבדל המשותף, והמונח n^th ניתן על ידי a_n =a ₁+ (n-1)ד; כאשר a_{1 הוא המונח הראשון.}

התנהגות הסדרה משתנה על סמך ההבדל המשותף ד. אם ההבדל המשותף חיובי, ההתקדמות נוטה להיות אינסוף חיובי, ואם ההבדל המשותף הוא שלילי הוא נוטה לאינסוף השלילי.

ניתן לקבל את סכום הסדרה על ידי הנוסחה הפשוטה הבאה, שפותחה לראשונה על ידי האסטרונום והמתמטיקאי ההודי Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

הסכום S_{n יכול להיות סופי או אינסופי, על סמך מספר האיברים.}

עוד על סדרה גיאומטרית

סדרה גיאומטרית היא סדרה עם המנה של קבוע המספרים העוקבים. זוהי סדרה חשובה שנמצאה במחקר של הסדרה, בגלל התכונות שיש לה.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

בהתבסס על היחס r, ניתן לסווג את התנהגות הסדרה באופן הבא. r={|r|≥1 סדרה מתפצלת; סדרת r≤1 מתכנסת}. כמו כן, אם r<0 הסדרה מתנודדת, כלומר לסדרה יש ערכים מתחלפים.

ניתן לחשב את סכום הסדרה הגיאומטרית באמצעות הנוסחה הבאה. S_n =a(1-r) / (1-r); כאשר a הוא האיבר ההתחלתי ו-r הוא היחס. אם היחס r≤1, הסדרה מתכנסת. עבור סדרה אינסופית, ערך ההתכנסות ניתן על ידי S_{n=a / (1-r).}

לסדרה גיאומטרית יש יישומים רבים בתחומי מדעי הפיזיקה, הנדסה וכלכלה

מה ההבדל בין סדרה אריתמטית לגיאומטרית?

• סדרה אריתמטית היא סדרה עם הבדל קבוע בין שני איברים סמוכים.

• סדרה גיאומטרית היא סדרה עם מנה קבועה בין שני איברים עוקבים.

• כל הסדרות האריתמטיות האינסופיות תמיד מתפצלות, אבל בהתאם ליחס, הסדרה הגיאומטרית יכולה להיות מתכנסת או מתפצלת.

• לסדרה הגיאומטרית יכולה להיות תנודה בערכים; כלומר, המספרים משנים את הסימנים שלהם לחלופין, אבל לסדרה האריתמטית לא יהיו תנודות.